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科 目 名 称： 《高 等 代 数》
姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭
卷
变幻，那么 是正交变换。（11）
3、 设V是一个n维欧氏空间，证明：如果 W1W 都是V得子空间，那么
W W2。（ 10）
四、计算题（每小题8分，共24分）
1
1、求矩阵A 3
6
3 3
5 3的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P使得P1AP为
6 4
对角形矩阵。
3 2 0
2、求一个正交矩阵U，使得U'AU使对角形式，其中A 2 4 2
0 2 5
姓名:
班级:
考试时间：120分钟 考试形式：闭
3、化二次型1
性变换。
f X1,X2,X3 4X1X2 2X1X3 2X2X3为平方和，并求所用的满秩线
科目名称：《高等代数》
一、填空题（每小题5分，共25分）
1、 （ 3,4,1）
2、 秩为2，一个最大无关组为 1, 3
3、维（V ） + 维（V2）=维（V V2） +维（V1 V2 ）
4、特征根是1， 1， 2，特征向量分别为
1,1,1, 2
2,1, 1 ,
5、秩为3
、是非题(每小题2分，共20分)
1、
(是
)
2、
(是
)
3、
(是
)
4、
(否
)
5、
(否
)
6、
(否
)
7、
(是
)
&
(是
)
9、
(是
)
10、
(是
)
三、明证题(每小题XX分，共 31分)
1、证明 设A可逆，则A 1存在，且A 1也是V的线性变换，(1)
若 A 1,A 2, ,A n 线性相关，则 A 1(A 1), A 1(A 2), ,A 1(A n)，⑵
即1, 2, , n也线性相关，这与假设1, 2, , n是基矛盾，故A 1,A 2, , A n线性
无关。⑸反之，若A 1,A 2, ,A n线性无关，因V是n维线性空间，故它也是V的
一组基，(7)
故对V中任意向量
1有
1 A(k1
1 k2 2
kn n)，即存在
(k1
k2 2
kn
n)，使
A()
1，
故A为V到V上的变换。(8)
若又有
l1 1
2
2
1 n n，
使A(
)
1，即
A I1A
1 12 A
2
ln A n
(k1A
1 k2 A 2
knA n)，因为
A 1, A 2
,A n
早甘 I
是基,l i
ki,(i
1,2,
,n)，
即
，从而A又是 的变换,
故A为可逆变换。
(10)
2、证：
2
(
,)
2 ,)(,〉, (4)
=(
,)
2
,)
(2 ,
),(8)
=2 ,
:.2 , 2 :', (10)
=0
,(11)
3、证:
(1)
W W4
W w2 w 她
w W2 ,(5)
则 W1 W2 W1 W2 。 (10) 四、