文档介绍：考研数学知识点-概率统计
一随机事件和概率
. (4)全概公式
B1, B2,Λ, Bn
1、概率的定义和性质设事件满足
1° B1, B2,Λ, Bn 两两互不相容,
(1)概率的公理化定义
P(Bi) > 0(i = 1,2,Λ, n) ,
设Ω为样本空间, A 为事件,对每一个事件 A 都有一
n
个实数 P(A),若满足下列三个条件:
A ⊂ΥBi
1° 0≤P(A)≤1, 2° i=1 ,
2° P(Ω) =1 则有
1 2
3° 对于两两互不相容的事件 A , A ,…有 P(A) = P(B1)P(A| B1) + P(B2)P(A| B2) +Λ+ P(Bn)P(A| Bn)
⎛∞⎞∞。
P⎜ Ai ⎟= P(Ai)
⎜Υ⎟∑此公式即为全概率公式。
⎝ i=1 ⎠ i=1
常称为可列(完全)可加性。
(5)贝叶斯公式
则称 P(A)为事件 A 的概率。
设事件 B1 , B2 ,…, Bn 及 A 满足
1° B1 ,B2 ,…,Bn 两两互不相容,P(Bi) >0,i = 1,
(2)古典概型(等可能概型) 2,…, n ,
n
1° Ω= {}ω1 ,ω 2 Λω n ,
A ⊂ Bi
1 Υ
2° i=1 , P(A) > 0 ,
2° P(ω1 ) = P(ω 2 ) = Λ P(ω n ) = 。
n 则
设任一事件 A ,它是由组成的,则有
ω1 ,ω 2 Λω m P(B )P(A/ B )
i i ,i=1,2,…n。
P(Bi / A) = n
P(A)={}(ω1 ) Υ(ω 2 ) ΥΛΥ(ω m )
∑ P(B j )P(A/ B j )
= P(ω1 ) +ΛP(ω 2 ) + + P(ω m ) j=1
此公式即为贝叶斯公式。
m A所包含的基本事件数
= = P(B ) ,( i = 1,2 ,…,n ),通常叫先验概率。P(B / A) ,
n 基本事件总数 i i
( i = 1, 2 ,…, n ),通常称为后验概率。如果我们把
2、五大公式(加法、减法、乘法、全概、 A 当作观察的“结果”,而 B1 , B2 ,…, Bn 理解为“原
因”,则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出
贝叶斯) 了“由果朔因”的推断。
(1)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 3、事件的独立性和伯努利试验
当 P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B) (1)两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P(AB) = P(A)P(B) ,则称事件
(2)减法公式
A 、 B 是相互独立的(这个性质不是想当然成立的)。
P(A-B)=P(A)-P(AB)
A B P(A) > 0
当B⊂ A 时,P(A-B)=P(A)-P(B) 若事件、相互独立,且,则有
P(AB) P(A)P(B)
P(B | A) = = = P(B)
当 A=Ω时,P( B )=1- P(B)
P(A) P(A)
所以这与我们所理解的独立性是一致的。
(3)条件概率和乘法公式若事件 A 、B 相互独立,则可得到 A 与 B 、A 与 B 、
P(AB) A 与 B 也都相互独立。(证明)
定义设 A、B 是两个事件,且 P(A)>0,则称为事件
P(A) 由定义,我们可知必然事件Ω和不可能事件Ø 与任
A 发生条件下,事件 B 发生的条件概率,记为何事件都相互独立。(证明)
P(AB) 同时,Ø 与任何事件都互斥。
P(B / A) = 。
P(A)
(2)多个事件的独立性
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概
率。设 ABC 是三个事件,如果满足两两独立的条件,
1 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月
考研数学知识点-概率统计
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A) 称为随机变量 X 的分布函数。
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a) 可以得到 X 落入区
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
间(a,b] 的概率。也就是说,分布函数完整地描述了随机
两两互斥→互相互斥。
两两独立→互相独立? 变量 X 随机取值的统计规律性。
分布函数 F(x) 是一个普通的函数,它表示随机变量