文档介绍：三十九章猜想求证型问题 23.( 2013 山东省滨州中考, 23,9分)我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”,“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似的,,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,点 E, F 分别是 AB , CD 的中点,那么 EF 就是梯形 ABCD 、测量,猜想 EF 和 AD 、 BC 有怎样的位置和数量关系?并证明你的结论. 【解析】连接 AF 并延长交 BC 于点 G, 证明△ ADF ≌△ GCF , 容易看出 EF 为△ ABG 的中位线,所以, EF= ( AD+BC )。解:结论为: EF ∥ AD ∥ BC , EF= ( AD+BC ) .理由如下: 连接 AF 并延长交 BC 于点 G. ∵ AD ∥ BC ∴∠ DAF= ∠G, 在△ ADF 和△ GCF 中, , ∴△ ADF ≌△ GCF , ∴ AF=FG , AD=CG . 又∵ AE=EB , ∴, 即 EF ∥ AD ∥ BC , EF= ( AD+BC ). 【点评】本题考查梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理. 正确的添加辅助线是解决此题的关键,梯形的问题常常转化为三角形的问题来解决. 26.( 2013 黑龙江省绥化市, 26,8分) 已知,点E 是矩形 ABCD 的对角线 BC 上的一点, 且 BE=BC , AB=3 , BC=4 ,点 P为 EC 上的一动点,且 PQ ⊥ BC 于点 Q, PR ⊥ BD 于点 R. ⑴如图(甲),当点 P 为线段 EC 中点时,易证: PR+PQ= 125 ; ⑵如图(乙), 当点 P 为线段 EC 上任意一点( 不与点 E、点C 重合)时, 其它条件不变, 则( 1 )中的结论是否仍然成立?若成立,请给与证明;若不成立,请说明理由; ⑶如图(丙), 当点 P 为线段 EC 延长线上任意一点时, 其它条件不变,则 PR 与 PQ 之间又具有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想. 【解析】解: (2 )图 2 中结论 PR+PQ= 125 仍成立. 证明:连接 BP ,过 C 点作 CK ⊥ BD 于点 K. ∵四边形 ABCD 为矩形, ∴∠ BCD=90 °, 又∵ CD=AB=3 , BC=4 , ∴ BD= 2 2 2 2 CD BC 3 4 5 ? ???∵S △ BCD =12 BC ? CD= 12 BD ? CK , 即3× 4=5CK , ∴ CK= 125 ∵S △ BCE =12 BE ? CK ,S △ BEP =12 PR ? BE ,S △ BCP =12 PQ ? BC ,且 S △ BCE =S △ BEP +S △ BCP , ∴12 BE ? CK =12 PR ? BE +12 PQ ? BC 又∵ BE=BC , ∴ CK=PR+PQ ,∴ PR+PQ= 125 (3 )图 3 中的结论是 PR-PQ= 125 . 【答案】⑵结论 PR+PQ= 125 仍然成立,理由见解析; ⑶图(丙)中的结论是 PR-PQ= 125 . 【点评】本题主要考查了矩形的性质及直角三角形的重要定理: 勾股定理, 解决本题的关键是掌握好矩形的性质及以图形面积的和差为平台构造出的等式关系. 难度中等. 23. ( 2013 山东省青岛市, 23 , 10 )( 10 分) 问题提出:以n 边形的 n 个顶点和它内部的 m 个点,共( m+n )个点为顶点,可把原 n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形? 问题探究:为了解决上面的问题,我们将采取一般问题特殊化的策略,先从简单和具体的情形入手: 探究一:以△ ABC 的三个顶点和它内部的一个点 P ,共 4 个点为顶点,可把△ ABC 分割成多少个互不重叠的小三角形? 如图①,显然,此时可把△ ABC 分割成 3 个互不重叠的小三角形. 探究二:以△ ABC 的三个顶点和它内部的 2 个点 P、Q ,共 5 个点为顶点,可把△ ABC 分割成多少个互不重叠的小三角形? 在探究一的基础上,我们可看作在图①△ ABC 的内部,再添加 1 个点 Q ,那么点 Q 的位置会有两种情况: 一种情况,点Q 在图①分割成的某个小三角形内部, 不妨假设点 Q在△ PAC 内部, 如图②; 另一种情况,点 Q 在图①分割成的小三角形的某条公共边上,不妨假设点 Q在 PA 上,如图③; 显然,不管哪种情况,都可把△ ABC 分割成 5 个互不重叠的小三角形. 探究三:以△ ABC 的三个顶点和它内部的 3 个点 P、Q、R,共6 个点为顶点可把△ ABC 分割成个互不重叠的小三角形