文档介绍：矩阵第三章?矩阵的基本运算?逆矩阵?分块矩阵?矩阵的初等变换?矩阵的秩?线性方程组解的理论?应用举例 2017-3-12 2第一、二、三节?矩阵的基本运算?逆矩阵?分块矩阵 2017-3-12 3 矩阵将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算,使得问题变得简洁、易于了解本质. 已在线性方程组的讨论中运用. 矩阵不仅是代数学,而且是数学中最重要的基本概念之一. 它是线性代数一个主要的研究对象, 且贯穿在线性代数的各个方面. 矩阵的理论和方法在处理许多实际问题,特别是计算机应用上是非常有力的. 问题方法理论应用了解:关于矩阵 2017-3-12 4 1、数乘矩阵 Definition 1 一、矩阵的基本运算数与矩阵 A = (a ij ) 的乘积,简称数乘矩阵, ?规定为 11 12 1 21 22 2 1 2 ) nn ij m m mn a a a a a a A a a a a ? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ? ??( A?记作求数与矩阵乘积的运算称为矩阵的数量乘积. Note : 的区别 A A ? ?与——数量矩阵 E? 2017-3-12 5 数乘矩阵满足如下性质: (设 A,B 为矩阵, 为数) m n ?, ??(1) ( ) ( ) A A ?? ????? 2 0 , A O O O ?? ? 11 12 1 21 22 2 1 2 ( 1) ) nn ij m m mn a a a a a a A a a a a ? ? ?? ?? ?? ? ?? ?? ???? ?? ?? ? ?? ???? ? ??( 特别地称为 A 的负矩阵. 记为– A . 2、矩阵加法设有两个矩阵那么,矩阵 A 与 B 的和记作 A+ B 规定为 m n ????? ij ij A a B b ? ?、 11 11 1 1 1 1 n n m m mn mn a b a b A B a b a b ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??? ?? Definition 2 必须同型求两个矩阵和的运算称为矩阵的加法. Note : 矩阵的加法归结为元素的加法. 一、矩阵的基本运算 2017-3-12 6 矩阵加法满足如下性质: (1)A + B = B + A ;(2)A + ( B + C ) = ( A + B ) + C (3)A + 0 = 0 + A = A ( 0 为与 A同型的零矩阵) 显然有 A + ( -A ) = 0. 矩阵的减法定义为 A - B = A + ( -B) (4) ( ) A A A ? ???? ??(5) ( ) A B A B ? ??? ??矩阵的加法与数乘矩阵,统称为矩阵的线性运算一、矩阵的基本运算 2017-3-12 7 3 、矩阵乘法矩阵乘法的定义是从研究 n 维向量的线性变换的需要而规定的一种独特的乘法运算. 矩阵运算中所具有的特殊的规律,主要产生于矩阵的乘法运算. Definition 3设是一个矩阵, 是一个矩阵,那么规定矩阵 A与矩阵 B的乘积是一个矩阵,其中( ) ij A a ? m s ?( ) ij B b