文档介绍：学案学案 2 2 任意角的三角函数与诱导公式任意角的三角函数与诱导公式(2) 能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. (3) 理解同角三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, =tanx. (1) 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切) 2 ?x cos x sin 主要作为工具对三角函数进行恒等变换,,以及三角函数式的化简,为研究函数作基础,是本编的重点内容. (1) 任意角的三角函数定义设α是一个任意角,角α的终边上任意一点 P(x,y ),它与原点的距离为 r(r >0), 那么角α的正弦、余弦、正切分别是: sin α= , cos α= , tan α= ,它们都是以角为,以比值为的函数. r yr xx y 自变量函数值(2) 三角函数在各象限内的符号口诀是: . 2. 设角α的顶点在坐标原点,始边与 x轴正半轴重合, 终边与单位圆相交于点 P,过P作 PM 垂直 x轴于 M, 作 PN 垂直y轴于点 N,则点 M,N 分别是点 P在x轴,y轴上的. 由三角函数的定义知,点P的坐标为,即, 其中 cos α= , sin α= , 单位圆与 x轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点 T(T ′),则 tan α= . 我们把轴上向量 OM,ON,AT( 或 AT ′)分别叫做α的、、. 二正弦、三正切、四余弦一全正、正射影( cos α,sin α) P(cos α,sin α) OM ON AT 余弦线正弦线正切线 (1) 平方关系: . (2) 商数关系: . (3) 倒数关系: tan α· cot α=1( α≠ , k∈Z ). sin 2α+cos 2α=1( α∈ R) cosa sina tana ?(α≠ kπ+ , k∈Z) 2 ?2 ?k- tan α +α-απ-α-απ+α 2kπ+α(k∈Z) 角六五四三二一组数 2 ?2 ? sin α- sin α- sin α sin α cos α cos α cos α- cos α cos α- cos α sin α- sin α sin α tan α tan α- tan α考点考点 1 1 三角函数的定义三角函数的定义设α为第四象限角,其终边上的一个点是 P(x ,- ) , 且 cos α= x ,求 sin α和 tan α.【分析】若能求出问题中的未知数 x,则由定义 sin α和 tan α可求,解题技巧即是设法建立关于 x的一个方程. 5 4 2 【【解析解析】】∵α是第四象限的角, ∴ x>0, 又P点到坐标原点 O的距离 r , ∴由 cos α,得. ∴ x= ,r=2 . ∴ sin α , tan α . 22 (-5) x??5x xr x 2???4 2x??5x x 2324 10 22 ???? 5-r y3 15 3 ???? 5-x y 【【评析评析】】容易出错的地方是得到 x 2 =3 后,不考虑 P点所在的象限, ,在解此类问题时,可以优先注意角α所在的象限,对最终结果作一个合理的预测.