柯西不等式.pdf

文档介绍：几个著名的不等式之一：柯西不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均
不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进即：   4( a b ) 2  4( a 2 )(b 2 )  0 ，
i i i i
i1 i1 i1
n n n
即： (a b )2  (a 2 )(b 2 ) ，
i i i i
i1 i1 i1
等号当且仅当 a x  b  a x  b    a x  b  0 ，
1 1 2 2 n n
b b b
即等号当且仅当 1  2    n 时成立（当 a  0 时，约定b  0 ，i  1，2，…，
a a a i i
1 2 n
n ）。
如果 a （1  i  n ）全为 0，结论显然成立。
i
柯西不等式有两个很好的变式：
n a 2 ( a ) 2
变式 1 设 a  R,bi  0(i  1,2,,n),  i  i ，等号成立当且仅当
i b b
i1 i i
b   a (1  i  n)
i i
n a ( a ) 2
变式 2 设 a ，b 同号且不为 0（i=1，2，…，n），则：  i  i ，等号成立
i i b  a b
i1 i i i
当且仅当b  b    b 。