文档介绍：如何求“最值”问题
求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。
一、利用配方求最值
例1•.若x,y是实数，
如何求“最值”问题
求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。
一、利用配方求最值
例1•.若x,y是实数，则x2xyy23x3y1999的最小值是。
分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。
原式=1(X
2
22、
2xyy)
1/2公—(x6x
2
1/2
9)(y
2
6y
9)
1990
=1(x
212
y)2-(x3)2
2(y3)2
1990
显然有
(x-y)2>0,(x-3)
2
2>0,(y-3)
2>0,
所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0时，得x=y=3时，代数式的值最小，最小是1990;21
例2,设x为实数，求y=x2x—3的最小值。
x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的x取值相同。由于2y=x2x1
x-21=(x1)2x
(Jx-J=)21,要求y的最小值，必须有x-1=0,,解得x=1,x1
于是当x=1时，y=x2x—3的最小值是-1。
x
二、利用重要不等式求最值
,,411例3:若xy=1,那么代数式一4一-的最小值是x44y4分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题,X1=(上)2(1)22]Jx44y4=(x2)(2y2)2x22y2(xy)2=1所以：~~44的最小值是1x44y4
三、构造方程求最值
例4：已知实数a、b、c满足：a+b+c=2,abc=、b、c中的最大者的最小值分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。
解：设c为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c,ab=［，则a、b可以看作c2424x2(2c)x—0的两根，因为a、b是实数，所以(2c)24-0，即cc
c34c24c160,(c2)(c2)(c4)0,得c2或c4,因为c是最大者，所以c的最小值是4.
四、构造图形求最值
例5:使Jx24J(8x)216取最小值的实数x的值为—.
分析：用一般方法很难求出代数式的最值,由于Jx24J(8x)216=J(x0)2(02)2J(x8)2,于是可构造图形，转化为：在x轴上求一点c(x,0),使它到两点A(0,2)和B(8,4)的距离和CA+CEM小，利用对称可求出C点坐标,这样，通过构造图形使问题迎刃而解。
解：x24,(8一x)2—16=..(x0)2(02)2.(x8)2(04)2.
于是构造如图所示。作A(0,2)关于x轴的所以y3x2,令y=0,
对称点A'(0,-2),,令直线A'B的解析式为y=kx+b,
0k
b
2口k
3
则
解得
4