文档介绍：希尔伯特几何公理
佛山石门中学高二（2）邓乐涛一、符号及一些说明有三组不同的对象：点，直线，平面点用A,B,C,D••…来表示；直线用a,b,c,d••…来表示；平面用a,6*・丫来表示。
点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元AC
这条公理还要求线段能够相加，可以定义AB+BC=AC（其中A,B,C共线）
相当于线段一样，我们也这样来规定角相等。
我们先定义角的概念：
对于不同一直线的三点O,A,B,射线OA,和射线OB的全体我们称为角，记为30B。o称为匕』涌的顶点，射线OA,和射线OB称为履的边。
同样与A,B的次序无关。
根据定义，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考虑的范围内。
III4：对于MOB,和一条射线O'A',在射线O'A'所在的一个平面内，有且只有一条射线O'B,使得履。B与M'OB相等，记为履。8=履'0B。而且有山。8履0B。
如同线段一样，下面四条等式的意义是一样的
ZAOB二lAOB,^lAOB-lBOA^BOA-^AOB^BOA=0A
然后先定义三角形：线段AB,BC,CA所构成的图形，记为I△ABC。
III5：若△ABd△A'B'C,有下列等式
=AC^BAC=匕B'A'C'
则有匕ABC=£ABC,=.
这条公理可以理解为三角形全等（SA0，事实上SAS这个公理的直接推论公理IV平行公理
这条公理显得很苍白，但在历史上很重要……
先定义平行：
对于同一平面上的两条直线线a和b,a与b无公共点，则称a与b平行，记为
allb.
（欧几里得平行公理）：设a是任意一条直线，A是a外的任意一点，在a和A所决定的平面上，至多有一条直线b,使得AEb且3IIb。
根据这个公理，我们可以得到平行线内错角，同位角相等；反之也成立。
公理V连续公理
V1（阿基米德原理）：对于线段AB,CD，则必定存在一个数n,使得沿着射线AB,白A作首尾相连的n个线段CD,必将越过B点。
在这里必须说下数的阿基米德原理：任意给定两个数a,b。，芝0）,必存在正整数n,使na>b
V2（直线完备公理）：将直线截成两段a,b"是直线），对于任意的A€a,B€b,则总存在一个点C,ceAB。
也就是说，不再存在一点不在直线上，把这点添加到直线上之后，仍满足前面的公理I~IV的（书上的描述太笼统，我还是用我白己的话说了）
要注意的是直线完备公理是要在阿基米德原理成立下才成立的！
二、公理的相容性
这里所谓的相容性，就是这五组公理是互不矛盾的。也就是说，不能从这些公理推导到相矛盾的结果。但是，如果直接从公理出发证明相容性几乎是一件不可能的事情（而且如果一个公理体系含有皮亚诺算术公理的话，这还是一个不可能的事情，这是根据哥德尔不完全定理得到的），那么我们应该如何来证明呢？希尔伯特将方向转向了“数”。
我们只说明平面几何（因为好说明），立体几何类似。。
我们考虑的是实数域R。
点我们用实数对来表示：
p：=（“）；
直线我们用Ax+By+C=°来表示：
l-（（xfy）\Ax+By+C=0}o两条直线++A2x+Bzy+C2=0平行，当且仅当
A2B1-=0
点P在直线1上：PEl
点B（*2，yJ在点a（xqJ与点c（刊）J之间：
（BiAC）：=（X】5＜七）V（莒3＜*2＜可a（48,C共线）.
对于点，线的平移，对称，旋转的变换，我们用一个变换来表达：
，rx=az+dy+u++其中血一&=]然后如果线段相等就是，两线段在以上的坐标变换中能重合，角亦然。
（PS把线段和角也看做点的集合，定义懒得写了）
那么用以上规定几何对象
公理I（关联公理）显然都是成立的，只需要用到①②③规定。
公理II（顺序公理）显然也都是成立的，再加上④规定。
公理III（合同公理）也是成立的，加上规定⑤。需要一点点论述，就是点与直线在经过⑥的变换后仍然是我们所研究的几何对象（也就是说x',y'都还是实数，其实就是要说明+注形的数还是实数，这是显然的）
公理IV（平行公理）在直线的这种规定下是成立的。
公理V（连续公理）根据实数的完备性，还有实数是阿基米德域这一性质可以直接得到。
也就是说我们所做的规定都是满足“称为几何”的性质的，我们便可以将这些实数，实数对作为几何对象。
那么这样，就把这五组公理的相容性就与算术的相容性联系在了一起了。那么只需要证明算术的相容性就可以了。
关于算术的相容性，这里是对于实数理论，但是其相容性能在白身证明（这是个完备的公理系统）。但是按照希尔伯特的意愿一般来说指的是皮亚诺算术公理的相容
性，不过根据哥德尔不完备定理，这是在算术公理内是无法白证的，只能根据另外一个跟更强的公