文档介绍：平面向量基本定理
2在平面，当一组基
［学****目标］，了解向量一组基底的含义
底选定后， ?会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的
综合问题.
押知识械理自主学****br/>知识点
与a的夹 角是求a+ B
解如图，作 OA = a, OB = b，且/ AOB = 60 °以OA、OB为邻边作？ OACB ,
因为|a|二|b|= 2,所以△ OAB为正三角形，
则 OC = a + b , BA = OA - OB= a 一 b ,
BC= OA =a.
所以 / OAB = 60 = Z ABC,
即a— b与a的夹角3= 60 ° .
因为|a尸|b|,所以平行四边形 OACB为菱形，
所以 OC，AB ,所以 Z COA = 90 - 60 0 = 30
即a+ b与a的夹角a= 30 ° ,
所以a+ 3= 90
跟踪训练3若a丰0 , b丰0 ,且|a| 二 |b| = |a — b |,求a与a + b的夹角.
解 由向量运算的几何意义知a + b , a — b是以a、b为邻边的平行四边形两
条对角线.
如图，?/ |a|= |b| = |a — b|,
又??？ OC= a + b,且在菱形 OACB中，
对角线OC平分/ BOA,
??? / a+ b的夹角是30 °题型四 平面向量基本定理的应用
例4如图所示，在 △ OAB中，OA = a, OB = b,点M是AB上靠近B的一个三等分点
点N是OA上靠近A的一个四等分点？若 OM与BN相交于点P,卜
o
求 OP..
/ 、 jf
2 2 1 2
解 OM = OA + AM = OA +_AB = OA +_(OB — OA) = a+_b ,
3333
因为0P与0M共线，故可设Op=t0M =孑+ 又 NP 与 NB 共线，可设 NP = sNB , OP= ON + sNB
PA + s(OB — ON) = 一 (1 — s)a + sb , 44
3t9
-1 st =
4310
所以解得
23
s= - =.
-33
所以印=左+52
跟踪训练4如图所示，在 △ ABC中，点M是AB的中点，且AN
1NC , BN与CM相交于E,设AB = a, AC = b,试用基底a, b表示
向量AE.
T 1T 1
由N , E, B三点共线，设存在实数
满足 AE = mA N + (1 — m )Ab = mb + (i — m)a
3
T
由C, E, M三点共线，设存在实数 n满足:
T
AE =
nAM
T 1
+ (1 — n)AC = ; na + (1 — n)b.
T 1T 1
解易得 AN=3AC=3b, AM = 2AB=2a,
11
所以一mb +(1 — m)a = _na + (1 — n)b , 32
由于a, b为基底，所以
1
1 — m = _ n,
1
m = 1 — n, 3
解得
5'
t 21
所以 AE=- a + - b. 55
易错易误
向量夹角概念不清致误
例5已知OA = 2a,