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撰写人：___________日 期：___________
∠OO3A=∠OCA.
由∠OO2O1=∠OO3O1O，O1，O2，O3共圆.
利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.
2 以“四点共圆”作为解题手段
这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面.
(1)证角相等
例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK.
求证：∠DMA＝∠CKB.
（第二届袓冲之杯初中竞赛）
分析：易知A，B，M，，
有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC
＝180°，
∴∠CMK+∠KDC＝180°.
故C，D，K，M四点共圆∠CMD＝∠DKC.
但已证∠AMB＝∠BKA，
∴∠DMA＝∠CKB.
(2)证线垂直
例4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，
BC交于K，N(K与N不同).△ABC
外接圆和△BKN外接圆相交于B和
：∠BMO=90°.
(第26届IMO第五题)
分析：这道国际数学竞赛题，，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.
连接OC，OK，MC，MK，∠GMC=
∠BAC=∠BNK=∠∠COK=2·∠BAC=∠GMC+
∠BMK=180°-∠CMK，
∴∠COK+∠CMK=180°C，O，K，M四点共圆.
在这个圆中，由
OC=OK OC=OK∠OMC=∠OMK.
但∠GMC=∠BMK，
故∠BMO=90°.
(3)判断图形形状
例5．四边形ABCD内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的内心依次记为IA，IB，IC，ID.
试证：IAIBICID是矩形.
(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)
分析：连接AIC，AID，BIC，
∠AICB=90°+∠ADB=90°+
∠ACB=∠AIDBA，B，ID，IC四点
共圆.
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同理，A，D，IB，
∠AICID=180°-∠ABID =180°-∠ABC，
∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC，
∴∠AICID+∠AICIB
=360°-(∠ABC+∠ADC)
=360°-×180°=270°.
故∠IBICID=90°.
同样可证IAIBICID其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形.
(4)计算
例6．正方形ABCD的中心为O，面积为1989㎝
一点，且∠OPB=45°，PA:PB=5:=__________
(1989，全国初中联赛)
分析：答案