平面向量在解析几何中的应用.docx

文档介绍：平面向量在解析几何中的应用
高三专题复****课教学案例福建省福州格致中学宋建辉
一、引言：
平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。正因为如此，在 2004
年 3 月 25 日在校教学公开周中开设了《平d PP1
r
B
A2
B2
A2
B2
n
当 B=0 时，可直接有图形证明（略） 。
评注：比较传统证明方法，避免了复杂的构图过程，应用向量来证，简单易懂，
充分体现了向量的工具性和优越性。
四、问题的解决：
x 2
y 2
2 ，点 P 为其上的动
例 3、（ 2000 年全国高考题）椭圆
1的焦点为 F1, F
9
4
点，当∠ F 1 P F 2 为钝角时，点
P 横坐标的取值范围是 ___。
2
解： F1（－
5
,0 ） F2（
5 ,0 ） , 设 P（3cos
,2sin
）
F1PF 2 为钝角
uuur
uuuur
∴ PF1
PF2
（
5
3cos , 2sin
) (
5 3cos
,
2sin
)
=9cos
2
－ 5＋ 4sin
2
2
=5 cos
－ 1<0
解得：
5
cos
5
∴点 P 横坐标的取值范围是（
3
5,3 5
）
5
5
5
5
点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。
例 4 、已知定点 A(-1,0) 和 B(1,0) ， P 是圆 (x-3) 2+(y-4) 2=4 上的一动点，求
2 2
PA PB 的最大值和最小值。
分析：因为 O为 AB的中点，所以
uuur
OP 的最值。

uuur uuur uuuur
PA PB 2PO, 故可利用向量把问题转化为求向量
uuur uuur
解：设已知圆的圆心为 C，由已知可得： OA { 1,0}, OB {1,0}
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
OA
OB
0, OA OB
1又由中点公式得 PA PB 2PO
uuur 2
uuur 2
uuur
uuur
uuur
uuur
所以 PA
PB
( PA
PB)2
2PA PB
=
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
(2 PO) 2
2(OA
OP) (OB
OP)
uuur
2
uuur uuur
uuur 2
uuur
uuur
uuur