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立体几何（几何法）—线面角
例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，。
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小。
【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.
设AC∩BD＝F，＝2，
PA＝2，PE＝2EC，故
PC＝2，EC＝，FC＝，
从而＝，＝.
因为＝，∠FCE＝∠PCA，所以
△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，
由此知PC⊥EF.
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PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.
(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝＝2.
设D到平面PBC的距离为d.
因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，AD两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.
设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝＝.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.
方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，E，B(，－b,0)．
于是＝(2，0，－2)，＝，＝，从而·＝0，
·＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.
又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.
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(2)＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．
设＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则·＝0，·＝0，
即2z＝0且x－by＝0，
令x＝b，则＝(b，，0)．
设＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则
·＝0，·＝0，
即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，
令p＝1，则r＝，q＝－，＝.
因为面PAB⊥面PBC，故·＝0，即b－＝0，故b＝，于是＝(1，－1，)，＝(－，－，2)，