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撰写人：___________日 期：___________
Q且与曲线C
只有一个公共点M，求|QM|的最小值，并求此时直线l2的方程．
【解析】（1）设点P的坐标为(x，y)，
则＝2，化简可得
(x－5)2＋y2＝16即为所求．
(2)如图3，曲线C是以点(5,0)为圆心，
图3
4为半径的圆，则直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则△CQM必为直角三角形，
|QM|＝＝，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值.
由点线距离公式得：，此时|QM|的最小值为＝4，
此时△CQM为等腰直角三角形，故这样的直线l2有两条，即 l2的方程是x＝1或y＝－4.
评注：阿氏圆求得多了，直接运用公式验证也是可取的。例如本题中，应有,代入公式
，立即得到：(x－5)2＋y2＝16．
【题3】（，13题）满足条件的△ABC的面积的最大值是 ．
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【解析】显然这又是一例“阿波罗圆”，建立如图4的直角坐标系，
因为有，代入阿波罗圆公式得：。设圆
心为M，显然当CM⊥x轴时，△ABC面积最大,此时
.
图4
评注：既然△ABC存在，说明其轨迹不包括与x轴的两个交点P,Q，
现在问：P,Q这两点究竟有什么性质？
由于，∴为△ACB的内角平分线；同理，为△ACB的外角平分线。
这就是说，P,Q分别是线段AB的内分点和外分点，而PQ正是阿氏圆的直径。
于是“阿波罗尼斯圆”在我们中国又被称为“内外圆”．因此，题3又有如下的轴上简洁解法:
∵动点C 到定点A ( - 1，0 ) 和B（1，0）距离之比为, 则有 ,
,
∴得为内分点，为外分点．圆半径，即为三角形高的最大值，即△ABC △ABC的面积的最大值是.
【题4】（2006，四川文8理6）已知两定点 A (-2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足| PA | =2| P B|，则点P的轨迹所包围的面积等于（ ）
【解析】显然这又是一个阿波罗圆，由上述评注我们可以实行轴上解决。
设O为坐标原点，注意到,可知原点O为线段AB的内分点．设AB的外分点为，
由，即有C（4，0）.于是圆直径为，∴，所求轨迹面积
，故选B.
评注：本题条件中的A,B关于y轴不对称，所以直接用阿波罗圆公式不恰当，但由于知道轨迹一定是圆，圆面积只与半径有关，而半径公式为
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，当时，直接代入即得。
【题5】△ABC中，角C的平分线交 AB于点 T， 且 AT = 2， TB = 1. 若AB上的高线长为2， 求 △ABC的周长.
【解析】建立如图5的直角坐标系，由条件知，
故点C的轨迹是阿波罗圆D，且T为AB的内分点。设AB的外分点为
，∵，∴，即圆直径，
图5
故点D（2,0）．已知△ABC 中AB上的高线长为2，即,
且由勾股定理得：，
故所求三角形ABC的周长．
评注：如果没有阿波罗圆的知识，你可能发现不了此三角形的高原来就是圆的半径，这是一个巧妙的隐含条件。
四、题根拓展
【例1】已知定点 B (3，0)，点 A 在圆上运动，
∠AOB的平分线交AB于点M，则点 M 的轨迹方程是 .
【解析】 如图6，设点为圆上任意一点，
图6
有
∠AOB的平分线交AB于，∵，
则,∴，
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代入（1），化简得： 方程（2）就是所求点M的轨迹方程.
评注：条件依然有比例（），结论依然是圆，但已经不适合用求阿波罗轨迹的办法解题。
解本题的方法叫做“坐标转移法”（也有称此法为“相关点法”或“代入法”的）。其步骤是：①设在已知轨迹上，它适合已知轨迹的方程；②找出主动点A与被动点M的转化关系；③将此关系代入已知轨迹的方程