文档介绍：例 ： 设
则
于是 的Gram矩阵为
所以
故当 时， cos(a) - cos(b))*(5*cos(a) + 5*cos(b) - 1)]
[ (cos(a) - cos(b))*(3*cos(a) + 3*cos(b) - 1), (cos(a) - cos(b))*(5*cos(a) + 5*cos(b) + 1)]
例11 设矩阵 ，证明
因为矩阵的迹是线性函数，即
例11说明对函数矩阵A(t)而言，求导和A(t)的线性函数l(A(t))可以交换运算次序，即
二、函数对向量的微分
定义12 设有多元函数 。定义函数 对 的微分(即梯度)为向量
显然，梯度的各分量给出了标量函数在该分量上的变化率，从而指出了此函数的最大增长率。
例13 对双线性型
有
特别地，有
对二次型 ，有
特别地，当 对称时，有
有
例14 当 对称时，对二次函数
因此求二次函数 的极值问题转化为求方程组 的解，即二次函数 的稳定(Stationary)点是可能的极值点。
%
syms x1 x2 a b c d
x=[x1 ;x2],y=[y1; y2]
z=[y1 y2]; %引入z的目的是简化结果，同理引入AT
A=[a b; c d] ;AT=[a c;b d];
f=z *A*x; % 线性型f
R1=jacobian(f,x) % 调用内置函数jacobian求f对x的导数
AT*y
R1 =
[ a*y1 + c*y2, b*y1 + d*y2]
ans =
a*y1 + c*y2
b*y1 + d*y2
理论结果是列向量，但显示为行向量
%（续）
syms x1 x2 a b c d
x=[x1 ;x2],y=[y1; y2]
z=[y1 y2]; %引入z的目的是简化结果，同理引入AT
A=[a b; c d] ;AT=[a c ; b d]
f=z *A*x; % 线性型f
R2=jacobian(f,y) % 调用内置函数jacobian求f对y’的导数
A*x
R2 =
[ a*x1 + b*x2, c*x1 + d*x2]
ans =
a*x1 + b*x2
c*x1 + d*x2
理论结果是列向量，但显示为行向量
%（续）
syms x1 x2 a b c d
x=[x1 ;x2]；
z=[x1 x2]; %引入z的目的是简化结果，同理引入AT
A=[a b; c d] ;AT=[a c ; b d]
f=z *A*x; % 二次型f
R3=jacobian(f,x) % 调用内置函数jacobian求f对x的导数
(A+AT)*x
R3 =
[ 2*a*x1 + b*x2 + c*x2, b*x1 + c*x1 + 2*d*x2]
ans =
2*a*x1 + x2*(b + c)
2*d*x2 + x1*(b + c)
理论结果是列向量，但显示为行向量
定义15 设有多元函数 。定义函数 对 的微分(即行梯度)为行向量
定义16 行向量值函数 对列向量 的微分为Jacobi矩阵（行对列）
将梯度推广到向量值函数，我们有
定义17 列向量值函数 对行向量 的微分为Jacobi矩阵（列对行）
特别地，当 时，有Jacobi行列式
例18 对 ， 有
例19 对 ， 有
都是行对列
例20 推广例13的结论。对
有
例 21 （二重积分的坐标变换）
直角坐标系下的二重积分
变成相应的极坐标下的二重积分
经过变换
定义22 多元函数 对列向量 的二阶微分为