文档介绍：矩阵分析第三章-资料
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我们引入下面的概念;
定义：在酉空间中，如果，则称与正交。
定义：长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量，向量
总是单位向量，称此过程为单位化。
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标准正交基底与Schmidt正交化方法
定义：设为一组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。
定义：如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。
例在中向量组
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与向量组
都是标准正交向量组。
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定义：在维内积空间中，由个正交向量组成的基底称为正交基底；由个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。
注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现这一问题。
定理：向量组为正交向量组的充分必要条件是

;向量组为标准正交向量组的充分必要条件是
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定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。
Schmidt正交化与单位化过程:
设为维内积空间中的个线性无关的向量，利用这个向量完全可以构造一个标准正交向量组。
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第一步正交化
容易验证是一个正交向量组。
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第二步单位化
显然是一个标准的正交向量组。
例 1 运用正交化与单位化过程将向量组
化为标准正交向量组。
解：先正交化
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再单位化
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那么即为所求的标准正交向量组。
例 2 求下面齐次线性方程组
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其解空间的一个标准正交基底。
解：先求出其一个基础解系
下面对进行正交化与单位化：
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即为其解空间的一个标准正交基底。
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酉变换与正交变换
定义：设为一个阶复矩阵，如果其满足
则称是酉矩阵，一般记为
设为一个阶实矩阵，如果其满足
则称是正交矩阵，一般记为
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例：
是一个正交矩阵
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是一个正交矩阵
是一个正交矩阵
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（5）设且，如果
则是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵。
是一个酉矩阵
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酉矩阵与正交矩阵的性质：
设，那么
设，那么
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定理：设，是一个酉矩阵的充分必要条件为的个列（或行）向量组是标准正交向量组。
定义：设是一个维酉空间，是的一个线性变换，如果对任意的都有
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则称是的一个酉变换。
定理：设是一个维酉空间，是的一个线性变换，那么下列陈述等价：
（1）是酉变换；
（3）将的标准