文档介绍：北京市 2014 ? 2015 学年度第二学期期中考试
高二数学（理）试卷
（考试时间： 100 分钟 总分： 100 分）
一、选择题（本大题共
10 小题，每小题
4 分，共 40 分. 在每小题给出的
10. 设函数 y = f x 在区间 a,b 上的导函数为 f x , f x 在区间 a,b 上的 导函数为 f x，
若区间 a,b 上 f x 0 ，则称函数 f x 在区间 a,b 上为“凹
函数”，已知
f x 二丄 x'一丄 mx 4— 2x
2 在 1,3 上为“凹函数”，则实数
m 的取 F 20
12
f
值范围是 ()
31 ( -O0
31
A.
—) ，9
丿
[6?
二、填空题 ( 本大题共
6 小题，每小题
4分，共 24分.)
11. 函数 f(x)=x 3 ax-2 在(1 「： ) 上是增函数，则实数
a 的取值范围是
A, 则方程— y
2 2
12. 设集合 A「1,234,5 ［a,b
1 表示焦点位于 y 轴上的椭
a b
圆有 个.
13
sin x,x^ p — 设 f(x)才 _ L J ，
2
则 o f(x)dx 为
.
I 1 x 迂 i— 2 '
1,x
2
14.
已知
复数 z=x ， yix,y? R, x = 0 且
z-2?3，则三的范围为
?
在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角
三角形，按如图所标边长，由勾股定理有 c2 =a 2 b2. 设想正方形换成正方 体，把
截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱 锥 O-LMN ，
X，D，都有 16 . 对定义在区间 D 上的函数 f (x) 和 g(x) ，如果对任意
如果用 S「S2 ,S3 表示三个侧面面积， S4 表示截面面积，那么类 比得到的结论是
f(x)-g(x) 乞 1 成立，那么称函数 f(x) 在区间 D 上可被 g(x) 替代， D 称为“替
代区间” . 给出以下命题 :
—— 1
①f (x^x 2 1 在区间上可被 g(x ) =x2 冷替代 ;
N
②f( x)= x 可被 g(x) 十士替代的一个“替代区间”为 ［雳］；
③ f (x) = In x 在区间 ［1,e ］可被 g(x) = x _ b 替代，则 e_2 乞 b 空 2 ;
-3 -
④ f (x) =lg(ax 2 x)(x D j,g(x) =sinx(x D ?)，则存在实数 a(a = 0)，使得 f (x) 在 区间 D< D?
上被 g(x) 替代；
其中真命题的有
三、解答题 ( 本大题共 4 小题，共 36 分. 解答应写出文字说明，证明过程 或演
算步骤.)
17. ( 本小题共 8 分)
已知函数 f(x)=x3 ax 2 2, x=2 是 f (x) 的一个极值点，求：
实数 a 的值；
f(x) 在区间 1-1,3 上的最大值和最小值。
18. ( 本小题共 8 分)
若 a、b、C 均为实数，且
a=x2-2y ， b = y2-2Z
， c=Z2-2x —
2
3
6
求证： a、b、 c 中至少有一个大于 0。