文档介绍：函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性
第 5 炼 函数的对称性与周期性
一、基础知识
（一）函数的对称性
1、对定义域的要求：不论是轴对称仍是中心对称，均要
中心对
称，而 f
x 可视为 f
x a
平移了
a 个单位（方向由
a 的符号决定） ，因此 f
x 对于
a,0 对称。
4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得所有” ，即一旦函数具备对称性，则只需要
剖析一侧的性质，即可获得整个函数的性质，主要表此刻以下几点：
1）可利用对称性求得某些点的函数值
2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性获得另一半图像
3）极值点对于对称轴（对称中心）对称
4）在轴对称函数中，对于对称轴对称的两个单一区间单一性相反；在中心对称函数中，对于对称中心对称的两个单一区间单一性相同
（二）函数的周期性
1、定义：设
f x 的定义域为 D ，若对 x
D ，存在一个非零常数
T ，有 f x T
f x
，
则称函数 f
x 是一个周期函数，称
T 为 f
x 的一个周期
2、周期性的理解：可理解为间隔为
T 的自变量函数值相等
3、若 f x
是一个周期函数，则 f
x T
f x ，那么 f x
2Tf x T
f
x ，
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性
即 2T 也是 f x 的一个周期，从而可得： kT k Z 也是 f x 的一个周期
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性
4、最小正周期：正由第 3 条所说， kT k Z 也是 f x 的一个周期，因此在某些周期函
数中， 常常找寻周期中最小的正数， 即称为最小正周期。 但是并不是所有的周期函数都有最小
正周期，比方常值函数 f x C
5、函数周期性的判断：
（1） f
x
a
f
x
b ：可得 f
x 为周期函数，其周期
T
b
a
（2） f
x
a
f
x
f x
的周期 T
2a
剖析：直接从等式下手没法得周期性，
考虑等间距再结构一个等式：
f
x 2a
f x
a
因此有： f
x
2a
f
x a
f
x
f x ，即周期 T
2a
注：碰到此类问题， 假如一个等式难以推测周期，
那么可考虑等间距再列一个等式，从而通
过两个等式看可否得出周期
（3） f
x
a
1
f x
的周期 T
2a
f
x
剖析： f
x
2a
1
1
x
f
x
a
f
1
f
x
（4） f
x
f
x
a
k （ k 为常数）
f
x
的周期 T
2a
剖析： f
x
f
x
a
k , f x
a
f x
2a
k ，两式相减可得： f x
2a
f
x
（5） f
x
f
x
a
k （ k 为常数）
f
x
的周期 T
2a
（6）双对称出周期：
若一个函数
f
x 存在两个对称关系，则
f
x
是一个周期函数， 详细
状况以下：（假定 b
a ）
① 若 f
x
的图像对于 x
a, x
b 轴对称，则
f
x
是周期函数，周期 T
2 b
a
剖析： f
x
对于 x
a 轴对称
f
x
f
2a
x
f
x
对于 x
b