文档介绍：线性代数****题及答案复旦版
线性代数****题及答案(复旦版)[]
线性代数****题及答案<br****题一
1. 求下列各排列的逆求并证明：
.
【解】
今归纳假设
那么
所以，对于一切自然数k,都有
6. 已知，其中
求及.
【解】因为|P|= ?1≠0,故由AP=PB,得
而
7. 设，求||.
解：由已知条件，的伴随矩阵为
又因为，所以有
，且，
即
于是有 .
8. 已知线性变换
利用矩阵乘法求从到的线性变换.
【解】已知
从而由到的线性变换为
9. 设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.
【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A,
所以 (B′AB)′=B′A′B=B′AB,
故也为对称阵.
10. 设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.
【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.
则 AB=(AB)′=B′A′=BA,
反之，因AB=BA,则
(AB)′=B′A′=BA=AB,
所以，AB为对称阵.
11. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：
(1) B2是对称矩阵.
(2) AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.
【证明】
因A′=A,B′= ?B,故
(B2)′=B′·B′= ?B·(?B)=B2;
(AB?BA)′=(AB)′?(BA)′=B′A′?A′B′
= ?BA?A·(?B)=AB?BA;
(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′
= ?BA+A·(?B)= ?(AB+BA).
所以B2是对称矩阵，AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.
12. 求与A=可交换的全体二阶矩阵.
【解】设与A可交换的方阵为,则由
=,
得
.
由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.
13. 求与A=可交换的全体三阶矩阵.
【解】由于
A=E+,
而且由
可得
由此又可得
所
以
即与A可交换的一切方阵为其中为任意数.
14. 求下列矩阵的逆矩阵.
(1) ； (2) ；
(3)； (4) ；
(5) ； (6) ，
未写出的元素都是0（以下均同，不另注）.
【解】
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ; (6) .
15. 利用逆矩阵，解线性方程组
【解】因,而
故
16. 证明下列命题：
(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.
(2) 若A可逆，则A*可逆且（A*）?1=（A?1）*.
(3) 若AA′=E,则（A*）′=(A*)?1.
【证明】（1） 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得
|A|·|B|·B*A*=|AB|E(B*A*)
=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*
=(AB) *A|B|EA*=|A|·|B|(AB) *.
∵ |A|≠0,|B|≠0,
∴ (AB) *=B*A*.
(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A?1,从而(A?1) *=|A?1|(A?1)?1=|A|?1A.
于是
A* (A?1) *=|A|A?1·|A|?1A=E,
所以
(A?1) *=(A*)?1.
(3) 因AA′=E，故A可逆且A?1=A′.
由(2)(A*)?1=(A?1) *,得
(A*)?1=(A′) *=(A*)′.
17. 已知线性变换
求从变量到变量的线性变换.
【解】已知
且|A|=1≠0,故A可逆，因而
所以从变量到变量的线性变换为
18. 解下列矩阵方程.
(1) ；
(2)；