文档介绍：第五章二次曲线一般的理论
§
A以及 Fi（x, y） , F2（x,y）及 F3（x, y）.
2
（1）三 a
2 y_ b2
1;
（2）
2
y ,
占
2
,
,b满足什么条件时， 二次曲线x 6xy ay 3x by 4 0 (1)有唯一中心；(2) 没有中心；(3)有一条中心直线.
3
x 3y - 0,
解：(1)由2 知，当a 9时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心；
3x ay - 0 2
(2)当a 9,b 9时方程无解，此时曲线没有中心；(3)当a b 9时方程有无数个解，
此时曲线是线心曲线.
有渐进线，那么它的两个渐进线方程是
22
①(xx0,yy0) = a11(xx°)2a12(xxO)(yy°)a22(yy0)0
式中(x°, y°)为二次曲线的中心.
证明：设(x,y)为渐进线上任意一点，则曲线的的渐进方向为X:Y (x x0):(y y0),
所以①(xXo,yy0)=a11(xx。)22ai2(xx°)(yy°)a22(yy。)20.
.
6x2xyy23xy1 0 ；
x23xy2y2x3y4 0；
x22xyy22x2y4 0.
解：(1)由
6x
1
2y
0,
—. .. 1 3
得中心坐标(—，3).
5 5
而由6X2 XY Y2 0得渐进方向为X :Y 1:2或*:丫
1:3 ,所以渐进线方程分别
为 2x y 1 0 与 3x y 0
x 2y
3x 2y
2
0,
得中心坐标
0
而由X2 3XY 2Y2 0得渐进方向为 X :Y 1:1或X :Y 2:1 ,所以渐进线方程分别
为 x y 2 0与 x 2y 1 0
x y 1 0.
(3)由 y '知曲线为线心曲线,
x y 1 0
所以渐进线为线心线，其方程为 x y 1 0.
.试证二次曲线是线心曲线的充要条件是
I2 I3 0 ,成为无心曲线的充要条件是
I2 0,I3 0.
证明：因为曲线是线心曲线的充要条件是
ai a2 型也即 I2 I3 0；
a12 a22 a23
为无心曲线的充要条件是 a1 a2
a12 a22
a3■也即 I2 0,I3 0.
a23
.证明以直线A〔x By〔 C1
0为渐进线的二次
曲线方程总能写成
(Ax By1 C1)(Ax By C) D
证明：设以Ax By1 C1
0为渐进线的二次曲线为
22
F(x, y) a^x2a^xy a22y2a^x 2a23y a33 0,
2
y。) a22(y y°) 0,
则它的渐进线为①(x x0, y y0) =a11(x x0)2 2al2(x x0)(y
其中(x°, y°)为曲线的中心，从而有①(x xO,y yO)=(Ax By1 C1)(Ax By C) 0
22
a〔i(x Xo)2&2(x %)(y y°) a22(y y°)
而①(xXo,yy0)=anx22a^xya22y22(七％%丫。^
2(a12x0a22 yo)yallxO2a12x0 y0a22 y0，
因为(xo,yo)为曲线的中心，所以有all%al2Yoa13，a12xoa22Yoa23
因此①(x xo, y yo) F(x, y)(x0,yo) a33,
令(x0,yo) a33D ,代入上式得 F(x, y) (x xo, y y°) D
即 F(x, y) (A〔x Byi C〔)(Ax By C) D ,所以以 Ax By1 C〔 o 为渐进线的二
次曲线可写为(Ax Byi Ci)(Ax By C) D o.
.
(1)以点(。，1)为中心，且通过(2, 3), (4, 2)与(-1 , -3);
⑵通过点(1, 1), (2, 1), (-1 , -2)且以直线x y 1 o为渐进线.
解：利用习题8的结论即可得：
(1) xy x 4。；(2) 2x2 xy 3y2 5x 7 o.
§
.求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程^
(1)曲线 3x2 4xy 5y2 7x 8y 3 o 在点(2, 1)；
2
(2)曲线曲线3x 4xy 5y 7x 8y 3 o在点在原点；
(3)曲线 x2 xy y2 x 4y 3 o 经过点(-2, -1 )；
(4)曲线 5x2 6xy 5y2 8 经过点(o, 我)；
(5)曲线 2x2 xy y2 x