文档介绍：细心整理
平面几何 定理及其证明
梅涅劳斯定理
1．梅涅劳斯定理及其证明
G
定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，那么有
．
证明：如图，过点细心整理
平面几何 定理及其证明
梅涅劳斯定理
1．梅涅劳斯定理及其证明
G
定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，那么有
．
证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．
因为CG // AB，所以 ————〔1〕
因为CG // AB，所以 ————〔2〕
由〔1〕÷〔2〕可得，即得．
2．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
定理：在ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边AC的延长线上有一点F，假设，那么，D、E、F三点共线．
证明：设直线EF交AB于点D/，那么据梅涅劳斯定理有
．
因为 ，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．
塞瓦定理
3．塞瓦定理及其证明
定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，那么有
．
证明：运用面积比可得．
依据等比定理有
，
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所以．同理可得，．
三式相乘得．
4．塞瓦定理的逆定理及其证明
定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，假设，那么直线CD、AE、BF三线共点．
证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，那么据塞瓦定理有
．
因为 ，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．
西姆松定理
5．西姆松定理及其证明
定理：从ABC外接圆上随意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，那么D、E、F三点共线．
证明：如图示，连接PC，连接 EF 交BC于点D/，连接PD/．
因为PEAE，PFAF，所以A、F、P、E四点共圆，可得FAE =FEP．
因为A、B、P、C四点共圆，所以BAC =BCP，即FAE =BCP．
所以，FEP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E四点共圆．
所以，CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900，所以CD/P = 900，即PD/BC．
由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，所以点D与D/重合，即得D、E、F三点共线．
E
M
托勒密定理
6．托勒密定理及其证明
定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，那么有
AB·CD + BC·AD = AC·BD．
证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，使得DAE =BAM．
因为ADB =ACB，即ADE =ACB，所以ADE∽ACB，即得
，即 ————〔1〕
由于DAE =BAM，所以DAM =BAE，即DAC =BAE。而ABD =ACD，即ABE =
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ACD，所以ABE∽ACD．即得
，即 —