文档介绍：细心整理
  第九章 回来分析
教学要求
1．一元线性回来及线性相关显著性的检验法，利用线性回来方程进展预料。
2．可线性化的非线性回来问题及简洁的多元线性回来。
本章重点：理解线性模型，回来模型的概念，驾驭线性模型中参数估计
称为经验回来(直线方程)，或经验公式。
例1 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有关。下表是24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的实测记录。试求这两个变量间的经验公式。
编 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
拉伸倍数x
强度y (Mpa)
编 号
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
拉伸倍数x
强度y (Mpa)
将视察值(xi，yi)，i=1,……,24在平面直角坐标系下用点标出，所得的图称为散点图。从本例的散点图看出，强度y与拉伸倍数x之间大致呈现线性相关关系，一元线性回来模型是适用y与x的。现用公式〔〕求，这里n=24
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∴
由此得强度y与拉伸倍数x之间的经验公式为
三、最小二乘估计的根本性质
一元线性回来模型()中，a、b的最小二乘估计满足：
(1)
(2)
(3)
证：(1) 留意到对随意i=1,2,……,n有
(2)利用，将表示为：
() ()
由于y1,y2,……,yn相互独立，有
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，a、b的最小二乘估计是无偏的，从()，()还知道它们又是线性的，因此()所示的最小二乘估计分别是a、b的线性无偏估计。
§ 建立回来方程后进一步的统计分析
一、σ2的无偏估计
由于σ2是误差εi(i=1,……,n)的方差，假如εi能观测，自然想到用来估计σ,然而εi是观测不到的，能观测的是yi.。由 (即Eyi的估计)，就应用残差来估计，因此，想到用 来估计σ2，我们盼望得到无偏估计，为此需求残差平方和的数学期望，
(学员自验)
于是得为σ2的无偏估计，例如§
令,那么。
我们称为标准误差，它反映回来直线拟合的程度。
具体计算时可用。
二、预料与限制
1、预料问题
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对于一元线性回来模型 〔〕
我们依据观测数据(xi,yi),i=1,…,n，得到经验回来方程,当限制变量x取值x0〔x0≠xi,i=1,…,n〕,如何估计或预料相应的y0呢？这就是所谓的预料问题，自然我们想到用经验公式，取来估计实际的，并称为点估计或点预料。在实际应用中，假设响应变量y比拟难观测，而限制变量x却比拟简洁视察或测量，那么依据观测资料得到经验公式后，只要观测x就能求得y的估计和预料值，这是回来分析最重要的应用之一，例如在§，拉伸倍数x0=，那么可预料强度
但是，上面这样的估计用来预料y究竟好不好呢？它的精度如何？我们盼望知道误差，于是就有考虑给出一个类似于置信区间的预料区间的想法。
对于一元(正态)线性模型
〔〕有 〔1〕 听从二元正态分布。
(2)
(3) 是相互独立的随机变量。
证明：略
又，,且与y1,y2,……,yn相互独立，，
且
由于y0与相互独立(只与y1,……,yn有关)，且y0～N(a+bx0,σ2)
∴
，与独立，故
T= 〔〕
对于给定的置信水平1-,查自由度为n-2的T分布表可得满足
的临界值ta
依据不等式的恒等变形可得的置信度为1-的置信区间为：
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这就是的置信度为1-的预料区间，它是以为中心，长度为的区间，