线性代数3-1：矩阵的初等变换.pdf

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第三章矩阵的初等变换
加上另一个方程的 k 倍:
以 i +k j 替换 i .
3. 上述三种变换都是可逆的.
i  j i  j
若(A) (B), 则(B) (A);
i  k i  k
若(A) (B), 则(B) (A);
i  k j i  k j
若(A) (B), 则(B) (A).三种变换都是可逆的, 所以变换前的方程组与变换后
的方程组是同解的. 故这三种变换是同解变换.
在上述变换过程中, 未知量并未参与本质性运算, 仅仅
只对方程组的系数和常数进行运算.
 2  1  1 1 2
 1 1  2 1 4
若记 B  (A | b)   
 4  6 2  2 4
 3 6  9 7 9
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1)
的增广矩阵)、矩阵的初等变换
定义: 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(1) ri rj ：对调 i, j 两行;
(2) ri k (k0)：第 i 行乘非零数 k;
(3) ri+krj ：将第 j 行的 k 倍加到第 i 行.
同理可定义矩阵的初等列变换
( 所用记号是把“r”换成“c” )．
矩阵的初等行(列)变换统称为初等变换.
初等变换的逆变换仍为初等变换且变换类型相同.
ri rj 的逆变换为 rj ri;
ri k (k0) 的逆变换为 ri (1/k), 或 ri k;
ri+krj 的逆变换为 ri+(–k)rj , 或 ri – krj .若矩阵A经过有限次初等行(列)变换变成矩阵B，
则称A与B行(列)rB(AcB).
若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,
则称矩阵A与矩阵B等价. 记作AB.
矩阵的(行、列)等价关系具有如下性质:
(1) 自反性: A  A;
(2) 对称性: 若A  B, 则 B  A;
(3) 传递性: 若A  B, 且 B  C, 则A  (1).
 2  1  1 1 2
 1 1  2 1 4
B 
 4  6 2  2 4
 
 3 6  9 7 9
 1 1  2 1 4
r r
1 2  2  1  1 1 2 ①②
   B
r32 2  3 1  1 2 1 ③2
 
 3 6  9 7 9
r –r  1 1  2 1 4
2 3 0 2  2 2 0 ②③
   B
r3–2r1 0  5 5  3  6 2 ③2①
r –3r  
4 1 0 3  3 4  3 ④3① 1 1  2 1 4
r 2 0 1  1 1 0 ②2
2  B
0  5 5  3  6 3
 
0 3  3 4  3
1 1  2 1 4
r +5r  
3 2 0 1  1 1 0