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目 录
摘 要 I
1引言 1
2矩阵间的三种关系 1
2。1 矩阵的等价关系 1
矩阵的合同关系 2
。 矩阵的相似关系 2
3 矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 3
。： 若为矩阵,并且,则一定存在可逆矩阵(阶)和( 阶）,使，其中为阶单位矩阵.
：设是两矩阵，则当且仅当。
2。2 矩阵的合同关系
:设均为数域上的阶方阵，若存在数域上的阶可逆矩阵，使得，则称矩阵为合同矩阵（若数域上阶可逆矩阵为正交矩阵），由矩阵的合同关系，得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件：
（1) 矩阵与不仅为同型矩阵而且是方阵。
（2) 存在数域上的阶矩阵，
2。2。2矩阵合同的性质：
(1）反身性：任意矩阵都与自身合同。
(2）对称性：如果与合同,那么也与合同.
(3）传递性：如果与合同,又与合同，那么与合同。
（4) 合同的两矩阵有相同的二次型标准型。
（5) 在数域上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.
(6) 矩阵合同与数域有关.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
。1 ：数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同。
。1 ：复数域上秩为的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：
2。3. 矩阵的相似关系
设均为数域上阶方阵,若存在数域上阶可逆矩阵使，则称矩阵与为相似矩阵(若级可逆矩阵为正交阵,则称与为正交相似矩阵）.
由矩阵的相似关系，不难得到矩阵与相似，必须同时具备两个条件
(1） 矩阵与不仅为同型矩阵,而且是方阵
（2） 在数域上阶可逆矩阵,使得
(1）反身性 ： ；
(2)对称性 :由即得;
（3）传递性: 和即得
(4） （其中是任意常数）;
(5)；
(6）若与相似，则与相似（为正整数）；
（7） 相似矩阵有相同的秩,而且,如果为满秩矩阵，那么。
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似。
（8)相似的矩阵有相同的行列式；
即：如果，则有:
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似;
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设，若可逆,则从而可逆。且与相似.
若不可逆,则不可逆，即也不可逆.
下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理
定理2。3。1 相似矩阵的特征值相同。
。1 相似矩阵有相同的迹
、合同和相似之间的联系与区别
3。1 矩阵的相似与等价之间的关系与区别
定理3。，但等价矩阵未必为相似矩阵．
证明: 设阶方阵相似，由定义3知存在阶可逆矩阵，使得，此时若记， ,则有，因此由定义1得到阶方阵等价
但对于矩阵,等价,与并不相似,即等价矩阵未必相似．
但是当等价的矩阵满足一定条件时，可以是相似的，如下面定理
定理 3。1。2：对于阶方阵，若存在阶可逆矩阵 使,（与等价），且 （为阶单位矩阵)，则与相似．
证明： 设对于阶方阵与,若存在阶可逆矩阵,使,即与等价．又知，若记 ，那么，也即，则矩阵也相似．
矩阵的合同与等价之间的关系