文档介绍：细心整理
方阵与其伴随矩阵的关系
摘要本文给出了阶方阵的伴随矩阵的定义,探讨了阶方阵与其伴随矩阵之间的关系,例如与之间的关系，并且给出了相应的证明过程.
关键词矩阵、伴随矩阵、关系、证明
在高等代数课程中细心整理
方阵与其伴随矩阵的关系
摘要本文给出了阶方阵的伴随矩阵的定义,探讨了阶方阵与其伴随矩阵之间的关系,例如与之间的关系，并且给出了相应的证明过程.
关键词矩阵、伴随矩阵、关系、证明
在高等代数课程中我们学****了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学****中有很大的用处。
1．伴随矩阵的定义.
设阶方阵
.令,.
2．矩阵与其伴随矩阵的关系及其证明.
==.当可逆时,有,即[1].
证明：因为
所以===.
当是可逆矩阵时, ,所以由上式得
==
即
.
细心整理
证毕.
=.(明显)
假设可逆，那么=.(明显)
设为阶方阵，那么[2].
,满足,那么.
证明因为,,,方程只有零解,从而,进而;
假设,那么方程组的根底解系中含个向量,于是,因此有.
证毕.
.
⑴当时, ,所以.
⑵当时，,==.由引理1知,+.因为那么, 至少有一行不全为零. ,从而.
⑶ 当时，可逆，由1知，.
证毕.
.
当可逆时，.
所以.
当不行逆时，，.
当时
，.
细心整理
，，.那么
当时，,即，，那么.
证毕.
当可逆时,假设为的特征值,，的特征值为零，并是重的.
引理2. 设可逆,假设为的特征值,那么是的特征值.
证明:
假设,那么由得到,于是,这与可逆冲突,所以.
同时由还有
.
因此,即是的特征值.
引理证毕.
.

.,这说明是的特征值.
由引理2知, ,所以,即