高中数学不等式知识点总结.pdf

文档介绍：弹 性 学 制 数 学 讲 义
不等式（4 课时）
b  a  b .
⑨绝对值三角不等式
3、几个着名不等式
2 a  b a2  b2
 ab  
①平均不等式： a1  b1 2 2 ，（a,b  R ，当且仅当a  b 时取"  "号）.
（即调和平均  几何平均  算术平均  平方平均）.
变形公式：
②幂平均不等式：
③二维形式的三角不等式：
④二维形式的柯西不等式：
(a2  b2 )(c2  d 2 )  (ac  bd)2 (a,b,c, d  R). 当且仅当 ad  bc 时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
⑥一般形式的柯西不等式：
⑦向量形式的柯西不等式：
ur ur ur ur ur ur ur ur ur
      ,
设, 是两个向量，则 当且仅当  是零向量，或存在实数 k ，使  k 时，等
号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
a  a  ...  a ,b  b  ...  b c ,c ,..., c b ,b ,..., b
设 1 2 n 1 2 n 为两组实数. 1 2 n 是 1 2 n 的任一排列，则
a b  a b  ... a b  a c  a c  ... a c  a b  a b  ... a b .
1 n 2 n1 n 1 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n（反序和  乱序和  顺序和），
a  a  ...  a b  b  ...  b
当且仅当 1 2 n 或 1 2 n 时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
f (x) x , x (x  x ),
若定义在某区间上的函数 ,对于定义域中任意两点 1 2 1 2 有
x  x f (x )  f (x ) x  x f (x )  f (x )
f ( 1 2 )  1 2 或 f ( 1 2 )  1 2 .
2 2 2 2 则称 f(x)为凸（或凹）函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；