文档介绍：其次章 振动与波
简谐振动
任一物理量在某确定值旁边往复变更均称为振动.
机械振动 、平面和空间振动.
周期和非周期振动
例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子关系为：
（3)
第八章 振动与波
对于a振子来说，b振子在t=。由于a、b两振子完全相同，故t=0时a振子的位移和速度就是t=。再由（3）、（4）式可列得：
将以上所得的 ， , 值代入速度公式可得b振子的速度表达式：
（4）
将以上的值代入（2-）、（2-）式可得:
将以上两值代入（1）式，可得a振子的振动位移与时间的关系为:
可见， a振子的振动位相比b振子超前了 。
其次章 振动与波
例2已知如图所示的单摆系统，求单摆的振动周期。
解：当摆线与竖直方向成 角时，摆球所受的合力 （即绳子的拉力与摆球的重力的合力）沿圆弧的切线方向。其大小等于重力在这一方向的分力 。如取逆时针方向为角位移 的正方向，则此力应相应列成：
当角位移 很小时，有 ，代入上式得：
由于摆球的切向加速度：
代入牛顿第二定律表达式 可列得：
其次章 振动与波
或：
这一方程与 这个简谐振动的特征微分方程具有相同的形式，故可断定：在角位移很小的状况下，单摆的振动是简谐振动。故这一振动的圆频率的平方等于以上微分方程中 一次项前的系数，即：
故单摆的圆频率为：
而单摆的周期为：
可见,单摆的振动周期与振幅无关,仅与摆的固有性质所决定。
以上微分方程的解为:
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3、简谐振动的能量
由（2-4）和速度公式，可列得简谐振动的势能和动能分别为：
（2-12）
（2-13）
故弹簧振子的总能量（即机械能）为:
对于弹簧振子，由前知 ，可列得
代入上式：
由此可得：
（2-14）
或：
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将前面推的公式 和（2-14）式 比较得：
这说明简谐振动的机械能是守恒的，其值与振幅的平方成正比，不随时间而变更。
平均动能与平均势能是指动能与势能对时间的平均值。根据在数学上求平均值的定义式，可相应列得：
即弹簧振子的平均动能与平均势能的值相等，且等于总机械能的一半。这一结论也适用于其它的简谐振动。
其次章 振动与波
二、阻尼振动
在上一节所讲的简谐振动是一种等振幅的振动，它是忽视阻力作用的志向状况。事实上，阻力是不行避开的，克服阻力作功的结果使得振动系统的能量渐渐削减。因此，实际发生的一切自由振动，振幅总是渐渐减小直至为零的。这种在回复力和阻力作用下的振动就称为阻尼振动。
实验指出，当运动物体的速度不大时，介质以运动物体的阻力与速度成正比，用式子表示为：
式中的比例系数 称为阻力系数。它的大小由物体的形状、大小、表面状况以及从介质的性质决定。式中的负号表示阻力的方向总与速度方向相反。
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设质量为的振动物体，在弹性力 和上述的阻力 作用下运动，则由牛顿其次定律可列得其运动方程为：
在阻尼作用较小（即 时），此方程的解为：
这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，称为阻尼振动的微分方程。
令：
式中的 为振动系统的固有圆频率（即做简谐振动时的圆频率）， 称为阻尼系数，将上式代入前式，并移项可得：
（2—15）
(2-17)
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（8—28）
阻尼振动位移时间曲线
其中：
上式为阻尼振动的表达式。如图1为其的函数图象。
0
0
式中的 和 是由初始条件确定的积分常数。
阻尼振动的周期：
（当 时）
图1
三种阻尼的比较
b）过阻尼
a）欠阻尼
c）临界阻尼
β < ω0
β > ω0
β = ω0
图2
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三、受迫振动、共振
在周期性外力策动下发生的振动称为受迫振动。
为简洁起见，设策动外力是随时间按余弦规律变更的简谐力 。除此之外，振动物体原还受到弹性力和阻力的作用，故物体受迫振动的运动方程为：