文档介绍：两个分块矩阵相似性的研究
程士珍
( )北京建筑工程学院基础部, 北京 100044
2 2 摘要: 给出两个分块矩阵相似的两个充分必要条件. 也就是说, 如果两个方阵 A 和B 在A = 0 和B = 0
A C A C A4 - Y 1B 1 = F 2 有解的充分必要条件 参考2 是
A F 1 2 ) ()()( 8 rank + ran k = rank A 1 B 1 0 B 1
() () 条件 F 3 = 0, 7中的前两个包含关系和 8式一起等价于矩阵秩的方程
0 A F F 112 0 F F 0 A B 0 0 3 4 11 ()9 rank = ran k + rank 0 0 0 B 0 0 1 0 0
0 0 0 0
() () () 由 2, 4式和 9式进一步等价于 C A ) ()()(= rank A + ran k B 10 rank 0 B
另一方面, A F + F B = 0 等价于 1 4 11
0 A F F F F 0 B 1121 21 + = 0 0 0 0 0 F F F F 3 4 3 4 () () 由 2和 4, 它也等价于
0 A 0 B 11- 1 - 1 P P C + Q =0 CQ 0 0 0 0 也就是,
()A C + CB = 0 11
() () () ( ) 上 面的讨论说明在 10和 11的条件下, 矩阵方程 5有解, 与其对应的矩阵方程 1有解,
故充分性的证明完毕.
2 2 定理 2B 的 条 件 下, 则 两 个 分 块 矩 阵 设 A 和 B 是 两 个 方 阵, 在 A = A 和 B =
C A 0 A 和 相似的充分必要条件是 A C + CB = C. 0 B 0 B
A 0 证 明 必 要 性由 于 A 和 B 是 幂 等 矩 阵, 所 以 也 是 幂 等 矩 阵. 因 而 如 果 B 0 A A C C A 0 与 相似, 则 也是幂等的, 也就是, B 0 B 0 0 B
2 A C A C = 0 B 0 B
将左边矩阵展开得到 A C + CB = C.
充分性 由于 A 和 B 是幂等矩阵, 它们能分解成:
I I 0 0 p q - 1 - 1 ()12 A = P , = Q P Q B 0 0 0 0
() 将它们代入 1式中, 得到
I 0 I 0 p q ()P X Q - P X Q = P CQ 13 0 0 0 0 假设
Y Y F F 1 2 1 2 ()和 P CQ = 14 P X Q = Y Y F F 3 4 3 4 () 则 13式进一步得到
Y 0 0 Y F F Y Y 1212 1 2 ()15 - = = - 0 0 0 0 Y Y F F 3 3 3 4
() () 这个方程有解的充分必要条件 F 1 = 0 和 F 4 = 0, 根据 12和 14, 显然等价于
( ) ( ) A CB = 0 和 I- A C I - B = 0m n
() CB = C. 由此得知, 在A C + CB = C 条件下, 方程 1有解, 因 这两个方程也等价于 A C +
A C A 0 此两个分块矩阵 和