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第二章 厚壁圆筒
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
设 z方向为无限长，则 σ x," ε x," u," 沿 z 方向都不变化，
仅为 x，y 的函数。 任一横截面均可视为对称面因为任一横截面均可视为对称面，则有
w ≡ 0
所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。
—— 平面位移问题
γ = γ ≡ 0
ε z ≡ 0 γ zy = γ yz ≡ 0 zx xz
水坝
ε x = ε x (x, y)
—— 平面应变问题
ε y = ε y (x, y)
γ xy = γ yx = γ xy (x, y)
(1)平面应变问题中 ε z ≡ 0 但是，σ z ≠ 0 (σ z = μ(σ x +σ y ))
注：
(2)平面应变问题中应力分量： σ x ,σ y ,σ z ,τ xy (τ zx = τ zy = 0)
—— 仅为 x y 的函数。
可近似为平面应变问题的例子：
煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平
面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题两类平面问题：
几何特征 几何特征;
平面应力问题 受力特征 平面应变问题 受力特征;
应力特征 应变特征。
σ x ,σ y ,τ xy =τ yx ε x ,ε y ,γ xy = γ yx
x z
b
t
滚
y y 水
坝 柱
a3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件，
求： σ x ,σ y ,τ xy ε x ,ε y ,γ xy u,v
仅为 的函数
需建立三个方面的关系： —— x y
（1）静力学关系：
应力与体力、面力间的关系；—— 平衡微分方程
（2）几何学关系：
形变与位移间的关系； —— 几何方程
（3）物理学关系：
形变与应力间的关系。 —— 物理方程
（1）应力边界条件；
建立边界条件：
（2）位移边界条件；§2-2 平衡微分方程
取微元体PABC（P点附近）， x
O
PA = dx PB = dy σ y