文档介绍：引言
对称性是在生产、科学研究和日常生活中常会遇到的一类特殊的数学问题，它涉及 到初高等数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技巧，灵活选用合 理的解题途径和方法。
解决积分问题的方法多种多样，若仅限定于初等数学方法，解题
0 0
=0
同理即可以证明当关于变量是偶函数的情况，以及上面的定理(3)、(4)、(5)、(6)。
例1・3设D为xoy平面上的以(1,1)、(-1,1)、(-1,-1)为顶点的三角形区域，D是
1
D在第一象限内的部分。则JJ (xy + cosxsiny)dxdy等于 。
D
解：积分区域如右下图1-1：
图1-1
则用直线y = -x可以将区域分成两个区域D、D，其中D关于y轴对称D关于x轴对
2 3 2 3
称。而D是D的右半部分。注意到x, y关于变量x是奇函数，cos x sin y关于变量x是
1 2
偶函数，xy + cosxsin y是关于变量y为奇函数。所以:
□ (xy + cos x sin y)dxdy
D
二 ff (xy + cos x sin y)dxdy + ff (xy + cos x sin y)dxdy
D3 D2
=ff (xy + c o sx sin d)x dry 0
D
=2ff cos x sin ydxdy
D1
:
(A)
(C)
x2 + y2 < 1，D : x2 + y2 < 1，x>0，y >0 ,则下列各式中不成立的
ff J1 — x 2 — y 2dxdy = 4f J - x - y dxdy
D D]
ff xydxdy = 4 ff xydxdy
D D]
ff (x + x3 y 2) dxdy 二 0
D
ff y 3 x dxdy 二 ff x y dxdy
D D
解：因为积分区域D关于x轴或y轴是对称的，又在A中被积分函数Jl- x2 - y2对
x或y是偶函数，故A成立。而B中被积分函数xy对x或y是奇函数，故
ff xydxdy = 0。对于C因为x + x3y2关于变量x为奇函数，故ff (x + x3y2)dxdy二0。 而在D 中,积分区域关于y = x是对称的，则fff(x,y)dxdy = fff(y,x)dxdy。故本题选A。
D D
例 1・5 计算二重积分I = ff (x2 + 5x + 2)dxdy，其中 D : x2 + y2 < 1
D
解：因为积分区域D关于x轴和y轴对称，而5x和3y分别关于变量x和y为奇函 数，故 ff (5x + 3y)dxdy 二 0。所以：
I 二 ff (x2 + 5x + 3 y + 2)dxdy
二 ff (x 2 + 2)dxdy
二 JJx 2 dxdy + ff 2dxdy
=f2 兀 d0 f1 (r coQ )2 rdr + 2兀 o o
4
=—兀
9
类似于在二重积分中的应用，对称性在三重积分中又如下性质: 性质7设Q关于坐标面x二0是对称的，则
fff f (x,
如果f (x, y, z )关于变量x是奇函数 如果f (x, y, z )关于变量x是偶函数
［其中Q是Q的前半部分：Q］二｛(x, y, z) gQ x > 0｝］
例 设空间区域 Q : x2 + y2 + z2 < R2， z > 0 以及 Q : x2 + y2 + z2 < R2， x > 0，
一 2
(A)
(C)
fffxdxdydz 二 4fffxdxdydz
fff ydxdydz = 4fff ydxdydz
fffzdxdydz 二 4fffzdxdydz fff xyzdxdydz = 4 fff xyzdxdydz
% Q2
解：因为Q关于x = 0， y = 0均对称，且f (x,y,z) = z关于x、y是偶函数，故: i
fff zdxdydz 二 4 fff zdsdydz
Q1 Q2
而在A中，被积函数f (x, y, z)二x关于x是奇函数。故：
fff xdxdydz 二 0
Qi
同理可以证明B、D。所以本题选C。
例1・7已知Q是由曲面Z x2 + y2和V1 - x2 - y 2所围成的区域。计算:
fff (x+z)dxdydz。
解：因为Q关于坐标面x二0对称，且关于x为奇函数，故有fffdxdydz二0，故再 根据极坐标变换可得：
JJJ (x + z )dxdydz = JJJ xdxdydz + JJJ zdxdydz
=0 + JJJ zdxdydz
=J2 兀 d。J^ d 申 J1 r