文档介绍：矩阵分析
主讲老师：魏丰
第三章 内积空间，正规则阵与H-阵
定义： 设 是实数域 上的 维线性空间，对于 中的随意两个向量 依据某一确定法则对应着一个实数，这个实间 中，证明
例 2 设 表示闭区间 上的全部连续复值函数组成的线性空间，证明：对于随意的 ，我们有
定义：设 为欧氏空间，两个非零向量 的夹角定义为
于是有
定理：
因此我们引入下面的概念;
定义：在酉空间 中，假如 ，则称 与 正交。
定义： 长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量 ，向量
总是单位向量，称此过程为单位化。
标准正交基底与Schmidt正交化方法
定义：设 为一组不含有零向量的向量组，假如 内的随意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。
定义：假如一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。
例 在 中向量组
与向量组
都是标准正交向量组。
定义：在 维内积空间中，由 个正交向量组成的基底称为正交基底；由 个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。
留意：标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发觉这一问题。
定理：向量组 为正交向量组的充分必要条件是
;向量组 为标准正交向量组的充分必要条件是
定理：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组动身可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。
Schmidt正交化与单位化过程:
设 为 维内积空间 中的 个线性无关的向量，利用这 个向量完全可以构造一个标准正交向量组。
第一步 正交化
简洁验证 是一个正交向量组。
其次步 单位化
明显 是一个标准的正交向量组。
例 1 运用正交化与单位化过程将向量组
化为标准正交向量组。
解：先正交化
再单位化
那么 即为所求的标准正交向量组。
例 2 求下面齐次线性方程组
其解空间的一个标准正交基底。
解： 先求出其一个基础解系
下面对 进行正交化与单位化：
即为其解空间的一个标准正交基底。
酉变换与正交变换
定义：设 为一个 阶复矩阵，假如其满足
则称 是酉矩阵，一般记为
设 为一个 阶实矩阵，假如其满足
则称 是正交矩阵，一般记为
例：
是一个正交矩阵
是一个正交矩阵
是一个正交矩阵
（5）设 且 ，假如
则 是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵。
是一个酉矩阵
酉矩阵与正交矩阵的性质：
设 ，那么
设 ，那么
定理： 设 ， 是一个酉矩阵的充分必要条件为 的 个列（或行）向量组是标准正交向量组。
定义： 设 是一个 维酉空间， 是 的一个线性变换，假如对随意的 都有
则称 是 的一个酉变换。
定理：设 是一个 维酉空间， 是 的一个线性变换，那么下列陈述等价：
（1） 是酉变换；
（3）将 的标准正交基底变成标准正交基底；
（4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。
留意：关于正交变换也有类似的刻划。
幂等矩阵
定义：设