文档介绍：数值计算方法三次样条插值演示文稿
第一页，共六十八页。
（优选）数值计算方法三次样条插值
第二页，共六十八页。
分段插值
第三页，共六十八页。
分段线性插值
第四页，共六十八页。
分段线性且
其中是法方程
唯一的一组解.
第四十一页，共六十八页。
令则误差为
第四十二页，共六十八页。
特例
取
则法方程为
其中
第四十三页，共六十八页。
例题
设求f(x)在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式.
解设由于
第四十四页，共六十八页。
故法方程为
解得
第四十五页，共六十八页。
平方误差为
第四十六页，共六十八页。
对离散数据的曲线拟合最小二乘法
曲线拟合问题
对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题.
第四十七页，共六十八页。
在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据: ,求曲线
与实验数据误差在某种度量意义下最小.
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设是[a,b]上一组线性无关的连续函数系,令
记误差
.为寻求我们常以误差
加权平方和最小为度量标准,即
第四十九页，共六十八页。
达到极小值,这里是[a,b]上的权函数.
类似前述最佳平方逼近方法,有多元函数
极值必要条件有
第五十页，共六十八页。
用向量内积形式表示,上式可记
上式为求的法方程组,其矩阵的形式为
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其中
由于向量组是线性无关,
故式()的系数行列式
第五十二页，共六十八页。
故式()存在唯一解 ,于是得到函数f(x)的最小二乘解
其平方误差为
第五十三页，共六十八页。
特例
第五十四页，共六十八页。
例题
设函数y=f(x)的离散数据如下表所示
试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差.
0
1
2
3
4
5
0

1

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解由式()可得
解方程组得
所以拟合二次函数为
第五十六页，共六十八页。
平方误差为
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地球温室效应问题
,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高
第五十八页，共六十八页。
年份N
1860年后地球气温增加值
年份N
1860年后地球气温增加值
1880

1940

1890

1950

1900

1960

1910

1970

1920

1980

1930

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解为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍, (P119)
第六十页，共六十八页。
,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系
为决定参数α,β将上式改写成
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记则有
这是已知数据相应地变为如下表所示
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ln1
ln2
ln3
ln4
ln6