利用微分方程解不定积分以及运用相量法解微分方程的特解.docx

文档介绍：h(x) f(x)
即皿2 f(x)
瑞dx
则[1^x)] f( x)
_ g( if
x) .
(x
,..而. ]
h( x)
T x)]-
h( - x) f(
2[f (x
x)
)
f ( x) h(h(x) f(x)
即皿2 f(x)
瑞dx
则[1^x)] f( x)
_ g( if
x) .
(x
,..而. ]
h( x)
T x)]-
h( - x) f(
2[f (x
x)
)
f ( x) h( x) .... .
]
利用微分方程解不定积分以及运用相
量法解微分方程的特解
PB07210165 陈稳霖

解不定积分的方法有很多，如分部积分法、凑分法等。本文将尝试采用微分方程来解决 不定积分的问题。
该种方法适用于解决
f g(x)0dx型不定积分。我们可以令我们要求的原函数为 [f(x)]2
由(1) (2),得 h'(x)f(x) —f'(x)h(x) = g(x)(3),其中 f(x)与 g(x)是已知的函数。
所以接下来的任务就是解上述微分方程，解出
h(x)，则 f g(x)2dx=M。事实上
[f(x)] f(x)
h(x)= h (x)+ h (x)其中hp(x)为方程(3)的特解，h0(x)为方程(3)所对应的其次
方程的通解。
现求其h0(x)：
h(x)f(x) - f (x)h(x) =0
1
h(x)
1,
dh(x) df(x)
f (x)
ln[h(x)] =ln[f(x)] G
ho(x)=Cf(x)
h(x) =hp(x) Cf (x)
g(x) [f(x)]
2dx
h(x) hp(x) C
f(x) f(x)
所以只需求方程(3)的特解即可。
卜面进行举例
例：求X-2Lex dx
x3
x-2 x e
解：原式 =—x1一dx
x
x - 2
即 f(x)= x, g(x)——e
x
…x-2 v
现求 xh( x1 h(/的特解
x
可令 h(x) =xkex ,则 h (x) =kxk,ex xkex
代入原方程，解得 k=-1
x
e h(x)= 一 x
x -