文档介绍：●基础知识
一、单调性定义
1．单调性定义：给定区间D上的函数f(x)，若对于 ∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数．对于 ∈D，当x1<xx∈(0,2)上是增函数，C中y＝(x－2)2＋1在x∈(0,2)上是减函数，D是反比例函数是减函数．
答案：B
2．(教材P1601题改编)函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则 ( )
A．k＞ B．k＜
C．k＞－ D．k＜－
解析：∵x∈R，y＝(2k＋1)x＋b是减函数，
∴2k＋1＜0，得k＜－ .
答案：D
3．(教材P602题改编)反比例函数y＝ .若k＞0，则函数的递减区间是________．若k＜0，则函数的递增区间是________．
答案：(－∞，0)，(0，＋∞) (－∞，0)，(0，＋∞)
4．(2009·华东师大附中)若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
解析：根据题意可得：当m＝0，y＝x＋5在(－2，＋∞)上是增函数；当m＞0时，且－ ≤－2，解得：0＜m≤ .综上所述，m的取值范围是0≤m≤ .
答案：0≤m≤
5．函数f(x)＝log5(x2－2x－8)的增区间是________；减区间是________．
答案：(4，＋∞) (－∞，－2)
【例1】 已知函数f(x)＝ －log2 ，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．
[解析] (1)x须满足
所以函数f(x)的定义域为(－1,0)∪(0,1)．
(2)因为函数f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有
研究f(x)在(0,1)内的单调性，任取x1、x2∈(0,1)，且设x1<x2，则
得f(x1)－f(x2)>0，即f(x)在(0,1)内单调递减．
由于f(x)是奇函数，所以f(x)在(－1,0)内单调递减．
[总结评述] 由于函数f(x)是奇函数，只要判断其在(0,1)上的单调性便可知道它在对称区间(－1,0)上的单调性，故在判断其单调性时，首先在(0,1)上任取x1、x2，否则，若直接在(－1,0)∪(0,1)上任取x1<x2，则f(x1)－f(x2)变形后的符号便不能判断．综合利用函数的单调性与奇偶性是解决本题的关键．
判断下列函数的单调性并证明
(1)f(x)＝ ，x∈(－1，＋∞)；
(2)f(x)＝－x2＋2x＋1，x∈[1，＋∞)；
(3)f(x)＝ ，x∈[－1，＋∞)．
命题意图：先判断单调性，再用单调性的定义证明．(1)采用通分进行变形，(2)采用因式分解进行变形，(3)采用分子有理化的方式进行变形．
解析：(1)函数f(x)＝ 在(－1，＋∞)上为减函数．
利用定义证明如下：
任取x1、x2∈(－1，＋∞)，且－1<x1<x2，
则有x1－x2<0，
(2)函数f(x)＝－x2＋2x＋1在[1，＋∞)上为减函数，证明如下：
任取x1、x2∈[1，＋∞)，且x2>x1≥1，
∵x2>x1≥1，∴x2－x1>0，x2＋x1>2，x2＋x1－2>0，
∴f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)>0，
即有f(x1)>f(x2)．
故函数f(x)＝－x2＋2x＋1在[1，＋∞)上为减函数．
(3)函数f(x)＝ 在[－1，＋∞)上为增函数，
证明如下：
任取x1、x2∈[－1，＋∞)且－1≤x1<x2，
则有x1－x2<0，
总结评述：对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断)求解．可导函数则可以利用导数解之.
【例2】 求下列函数的单调区间：
①y＝|log (x＋1)|；
②y＝1－ ；
③y＝x3－3x.
[分析] ①判定函数的单调性方法有图象法、定义法、利用已知函数的单调性法、求导法．
②研究复合函数的单调性，应首先求函数的定义域，然后在函数的定义域内进行求解．
③判断或证明可导函数f(x)在 (a，b)内的单调性的步骤：
(ⅰ)求f′(x)；
(ⅱ)确认f′(x)在(a，b)内的符号；
(ⅲ)作出结论．
[解答] ①方法1：设u＝log (x＋1)
由u≥0得－1＜x≤0
由u＜0得x＞0
当－1＜x≤0时，u为减函数
y＝|u|为增函数
∴(－1,0]为y＝|log (x＋1)|的减区间
当x＞0时，u为减函数，