文档介绍：高三数学(第4周)
【教学内容】
等差、等比数列的定义,性质,通项及求和公式,并能运用它们去解决数列中基本的运算问题。
【教学目标】
1、等差数列、等比数列的概念及通项公式,前n项和的计算公式是学习好数列的基础。首先我们要熟练掌握数列的概念,理解通项及求和公式推导的思想方法,在掌握公式的基础上,熟练掌握由已知n、an、d(q)、a1、sn中的某三个量,如何去计算另二个量的问题。
2、能灵活地运用等差、等比数列的性质,如在等差数列中:(1)当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(2)等差数列中任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项(3)等差数列中每k项的和仍为等差数列,公差为k2d等性质及等比数列中的相关性质,来解决具体问题。
3、由于等差数列中sn是n的二次函数(其中d≠0)且常数项为零,因此当a1>0、d<0时sn有最大值,当a1<0,d>0时sn有最小值,求sn的最值时,可以讨论数列中项的符号或利用二次函数求最值的方法来解决。
4、等差等比数列的知识还常运用于函数、方程、不等式、三角及几何等问题,我们要能灵活运用数列的概念及性质来解决这些数学问题。
【知识讲解】
例1、等差数列{an}中,a2+a4+a6+a12+a20+a32=18,求a8+a13+a17
分析:由等差数列性质可知,等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项,则a2+a32=2a17,a4+a12=2a8,a6+a20=2a13 ∴2(a8+a13+a17)=18 ∴a8+a13+a17=9
例2、在等比数列{an}中,a1+an=66, a2·an-1=128, s n=126,求n、q。
分析:因为{an}为等比数列,所以由等比数列的性质:若m+n=p+q, 则am·an=ap·aq
可知a2·an-1=a1·an,代入已知条件可求出a1、an,知道了a1、an、sn用通项及求和公式就可以求出n与q了。
解:∵数列{an}为等比数列,∴a2·an-1=a1·an, ∴ a1+an=66 ∴a1、an是方程
a1·an=128
x2-66x+128=0的两根,∴ a1=2 a1=64
或
an=64 an=2
当a1=2, an=64时,由可得,∴q=2, n=6
同理,当a1=64, an=2时可及q=, n=6
例3、四个正数,前三个成等差数列,其和为48,后三个成等比数列,最后一数为25,求这四个数。
解:设此四个数为a-d、a、a+d、25,∵(a-d)+a+(a+b)=48, ∴a=16,又后三个数成等比数列,∴(a+b)2=25a,即(16+d)2=25×16, ∴ d2+32d-144=0, d=4或d=-36(舍去),所以四个正数为:12、16、20、25。
说明:当几个数成等或等比数列时,我们可以利用对称性质性设出这n个数。如三个数成等差数列时,可设为a-d、a、a+d,当四个数成等差数列时,可设为a-3d, a-d, a+d, a+2d等比数列也是类似的,这样设出来的n个数具有对称性,往往会给计算带来方便。
例4、已知两个等差数列,它们的前n项和之比为,求这两个数列的第9项之比。
解:设这两个等差数列分别为{an}、{bn}它们的前n项和分别为sn , sn’,由等差数列的性