文档介绍：不等式的证明
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马迪
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证明不等式的主要依据
1 a-b>0 a>b,a-b<0 a<b 2不等式的性质 3几个重要不等式(1)a2≥0(a∈R) (2)a2+b2≥2ab(a,b∈R) (3) ≥(a,b∈R,且a>0,b>0)
(4) ≤≤≤(a,b∈R,且a>0,b>0) (5)a2+b2+c2≥ab+bc+ac
不等式的证明方法主要有:
比较法
综合法
分析法
反证法、
换元法、
放缩法
判别式法、
构造法
典例分析
例1 、已知:a, b ∈R
求证: a2 +b2 +ab+1>a + b
证法一:
2(a2+b2+ab+1)-2(a+b)
=a2+b2+2ab+a2-2a+1+b2-2b+1
=(a+b)2+(a-1)2+(b-1)2 >0.
∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
证法二: a2+b2+ab+1-a-b
= a2+a(b-1)+ b2-b+1
把a作变元,Δ=(b-1)2-4(b2-b+1)
=-3b2+2b-3
=-3(b- )2-
< 0.
∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
证法三:
a2+b2+ab+1-a-b
= a2+a(b-1)+ b2-b+1
=(a+ )2+ (b- )2+
>0.
∴a2+b2+ab+1﹥a+b.
例2、已知a,b,c,d都是实数,且a2+b2=1,c2+d2=1,求证:∣ac+bd∣≤1
huan
zong
bi
fen
证法1:(换元法)
a2+b2=1,c2+d2=1.
可设a=cosα,b=sinα,
c=cosβ,d=sinβ,
∣ac+bd∣=|cosαcosβ+
sinαsinβ|=|cos(α-β)|≤1.
证法2:(综合法)
∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
≤+ = =1