清北学堂-高中数学--不等式.pdf

文档介绍：清北学堂 2011 寒假数学集训一导学
一、 几个重要的不等式
1. 基本不等式：（1）如果 a, b R ，那么 a22 b2 ab ，当且仅当 ab 时，等号成立。

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至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从
而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。
4．放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从
而达到证明的目的。我们把这种方法称为放缩法。
5．换元法：主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。
。
：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正整数 n 都成立时，
可以用以下两个步骤：
（1）证明当 nn 0 时命题成立；
（2）假设当 n k k N ，且 kn 0  时命题成立，证明 nk1 时命题成立。
在完成这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正整数成立。这种证明方法称
为数学归纳法。


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范例分析：
：对 x, y R ， x22 y  xy 31 x  y   恒成立。
证明：配方法：
x22 y  xy 31 x  y  
x22  y 3 x  y  3 y  3
2
y  312 2
x   y 3 y  3  y  3
24
2
y  3 32 3 3
x   y  y 
2 4 2 4
2
y  33 2
xy   10 
24
x, x , , x
12 n 都是正数，求证：
22 22