文档介绍：泰山学院信息科学技术系 Department of Information Science and Technology, Taishan College 第七章常微分方程实际中,很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是,只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。常微分方程作为微分方程的基本类型之一,在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题,也可以化为常微分方程问题来近似求解。本章讨论常微分方程的数值解法泰山学院信息科学技术系 Department of Information Science and Technology, Taishan College 对于一个常微分方程: ],[,),('baxyxfdx dy y???通常会有无穷个解。如: Raaxyxdx dy??????,) sin( ) cos( 因此,我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出,如下面的初值问题: ???????? 0)( ],[,),(yay baxyxfdx dy 为了使解存在唯一,一般,要加限制条件在 f上,要求 f对y满足 Lipschitz 条件: 2121),(),(yyLyxfyxf???泰山学院信息科学技术系 Department of Information Science and Technology, Taishan College 常微分方程的解是一个函数,但是,计算机没有办法对函数进行运算。因此,常微分方程的数值解并不是求函数的近似,而是求解函数在某些节点的近似值。例:我们对区间做等距分割: , ( ) / i x h i h b a m ? ??设解函数在节点的近似为}{ iy 由数值微分公式,我们有 i ixxxxyxfdx dy ???),( ,则: ),( 1ii iiyxfh yy???向前差商公式),( 1iiiiyxfhyy???可以看到,给出初值,就可以用上式求出所有的}{ iy 泰山学院信息科学技术系 Department of Information Science and Technology, Taishan College 基本步骤如下: ③解差分方程,求出格点函数①对区间作分割: bxxxa n I??????? 10:求在上的近似值。)(xy ix iy }{ iy 称为分割 I?上的格点函数②由微分方程出发,建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足: A、解存在唯一; B、稳定,收敛; C、相容数值方法,主要研究步骤②,即如何建立差分方程,并研究差分方程的性质。这种方法,称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上,求未知函数 y在这些点上的值的近似。我们的目的,就是求这个格点函数泰山学院信息科学技术系 Department of Information Science and Technology, Taishan College 为了考察数值方法提供的数值解,是否有实用价值,需要知道如下几个结论: ①步长充分小时,所得到的数值解能否逼近问题得真解;即收敛性问题②误差估计③产生得舍入误差,在以后得各步计算中,是否会无限制扩大;稳定性问题泰山学院信息科学技术系 Department of Information Science and Technology, Taishan College Euler 公式做等距分割,利用数值微分代替导数项,建立差分方程。 im abx iI???:1、向前差商公式)(''2 )(' )()( 1nn nny hxyh xyxy?????)(''2 ))(,( )()( 1nnn nny hxyxfh xyxy?????)(''2 ))(,()()( 2 1 n nnnny hxyxhfxyxy?????所以,可以构造差分方程),( 1nnnnyxhfyy???称为局部截断误差。显然,这个误差在逐步计算过程中会传播, 积累。因此还要估计这种积累泰山学院信息科学技术系 Department of Information Science and Technology, Taishan College 定义 在假设 y i = y(x i), 即第 i 步计算是精确的前提下,考虑的截断误差 R i = y(x i +1 ) ?y i +1 称为局部截断误差/* local truncation error */。定义 若某算法的局部截断误差为 O(h p +1), 则称该算法有 p 阶精度。记为 2、收敛性)(''2 ))(,()()( 2 1 n nnnn