文档介绍：连续小波变换-精品
连续小波变换
连续小波变换是信号时-频分析的另一种重要工具。它的时频窗在低频时自动变宽，而在高频时自动变窄，具有自动变焦作用。结果，在很暂短的高频现象上，小波变换能比窗口Fourier变换更好地”移近”观察。
对慢；在频域，Shannon小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。
常用的基本小波
9. Battle-Lemarie样条小波
Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
时频分析
1. Fourier变换
Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。
2. 短时Fourier变换
短时Fourier变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用Fourier变换分析每个时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频谱信息。
非平凡函数
称为窗函数，
如果
窗口Fourier变换
通常我们用
作为窗函数
的宽度的度量。
窗口Fourier变换：
大致反映了
在时刻 b、频率为
的"信号成分"的相对含量。
窗口Fourier变换
给出了
在
的时间窗
内的局部化信息。
短时Fourier变换
若
及其Fourier变换
都是窗口函数
，则称
为短时Fourier变换。
同时给出了
在时间窗
内的局部化信息。
特别地，当窗口函数取Gaussian函数时，
相应的短时Fourier变换称为Gabor变换。
和频率窗
时间-频率窗
的特性：不变的宽度
和固定的窗面积
测不准原理：
应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。
小波时频分析
小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。
假设
是任一基本小波，并且
与
都是窗函数，
与半径分别为
它们的中心
，
，
和
。
不妨设
和尺度 a都是正数。
给出了
在时间窗
内的局部化信息。
给出了
在频域窗
内的局部化信息。
小波时频分析
内的局部化信息,
若用
作为频率变量
，则
给出了信号
在时间—频率平面（
平面）中一个矩形的时间—频率窗
即小波变换具有时—频局部化特征。
窗宽:
面积:
的宽度是
宽度的
倍.
检测信号
的高频成分需用
具有比较小的
的分析小波
变窄，并在高频区域对信号进行细节分析.
. 这时时间窗会自动
各种变换的比较
小波变换的特性
分解种类：时间-尺度或时间-频率
分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。
小波函数的伸缩改变其窗口大小。
变量： 尺度，小波的位置
信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率
局部化，宽的小波提供好的频率局部化
及差的时间局部化。
适应场合：非平稳信号
Fourier变换的特性
分解种类： 频率
分析函数： 正弦函数，余弦函数
变量： 频率
信息： 组成信号的频率
适应场合： 平稳信号
算法复杂度：
短时Fourier变换的特性
分解种类：时间-频率
分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波
变量：频率，窗口的位置
信息： 窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分；
窗口越大，频率局部化越好, 此时时间局部化较差.
适应场合：次稳定信号
连续小波变换的计算
数值近似积分法、快速算法（包括Mellin算法，斜交投影算法等）
在Matlab小波工具箱中，用cwt（）函数计算连续小波变换。
连续小波变换的结果的显示方式： 灰度表示，三维表示
连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点
2, 4, 8, 16 , 32
1，2，…, 32
小波变换的分类
中
三个变量均为连续变量，
离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面介绍两种最重要的分类：
通过对它们施加不同的
离散小波及离散（参数）小波变换：
二进小波及二进小波变换
只对a,b离散化
： 只对a离散化
离散小波及离散（参数）小波变换
令参数
，
，其中
，则离散（参数）小波为：
在这种情况下，常用
记
，即
相应于离散小波
的离散（参数）小波变换为：
重构问题：
在满足什么条件下，可以由离散小波变换
重构原信号？