文档介绍：平面向量基本定理
必修系列
数学4
f
－ f
G
P
（1）小明从A到B，再从B到C，则他两次的位移之和是：
A
B
C
D
三角形法则
平行四边形法则
首尾相接，由首至尾
共起点 线的非零向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
3、由定理可将任一向量 在给出基底
的条件下进行分解.
练****下列说法是否正确？
.
.
.
对向量,都可作为基底.
×
√
√
√
想一想
（1）一个平面内，可作为基底的向量有 对。
无数
(1)(3)
数学应用
因为平行四边形的对角线互相平分
例1
数学应用
A
B
C
D
例2
课堂练****br/>(2)
A
B
C
D
课堂练****br/>B
Q
P
D
C
A
课堂练****br/>B
Q
P
D
C
A
E
练****br/>请大家在图中确一组基底，将其它向量用这组基底表示出来．
A
N
M
C
D
B
已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC，M、N分别是DC，AB的中点．
A
N
M
C
D
B
解析：设AB=e1，AD=e2，则有：
DC= AB = e1
1
2
1
2
BC=BD+DC=(AD-AB)+DC=(e2-e1)+ e1=- e1+e2
1
2
1
2
MN=DN-DM=(AN-AD)- DC
1
2
= e1-e2- e1
1
2
1
4
= e1-e2
1
4
二、向量的夹角:
O
A
B
两个非零向量 ，
和 的夹角．
夹角的范围：
O
A
B
O
A
B
注意:同起点
叫做向量
O
A
B
例2:如图，等边三角形中，求
(1)AB与AC的夹角；
(2)AB与BC的夹角。
A
B
C
注意:同起点
A
B
O
P
一个重要结论
结论：
你发现了什么？
三、平面向量的坐标表示
思考？
在平面里直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（它的坐标）表示。对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？
.
向量的
正交分解
物理背景:
三、平面向量的坐标表示
y
O
x
我们把(x,y)叫做向量 的
(直角)坐标，记作
其中，x叫做 在x轴上的坐标，
y叫做 在y轴上的坐标，
(x,y)叫做向量的坐标表示.
正交单位基底
i,j为单位向量
O
x
y
A
当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.
坐标(x,y)
一一对应
两个向量相等，利用坐标如何表示？
向量
三、平面向量的坐标表示
解：
j
y
x
O
i
c
a
A1
A
A2
B
b
d
例：
数量看投影 符号看方向
平面向量的坐标运算
，b ，求a+b，a-b，λa
解：a+b=( i + j ) + ( i + j )
=（ + )i+（ + )j
即
a + b
同理可得
a - b
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差
2．已知 ．求
x
y
O
解：
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的
终点的坐标减去始点的坐标．
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的
向量的相应坐标．
思 考
1. 两个向量共线的条件是什么?
2. 如何用坐标表示两个共线向量?
推导过程：
推导过程：
推导过程：
推导过程：
推导过程：
探究：
探究：
探究：
探究：
探究：
讲解范例
例2. 已知A(1, 1)，B(1, 3)，C(2, 5)，
试判断A，B，C三点之间的位置关系.
讲