文档介绍：实对称矩阵的标准形
第一页，共四十六页。
§ 实对称矩阵的标准形
一、实对称矩阵的一些性质
二、对称变换
三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵
四、实二次型的主轴问题
第二页，共四十六页。
一、实对称矩相似对角化
是正交的．
基下的矩阵，
证：设实对称矩阵A为 上对称变换 的在标准正交
是A的两个不同特征值 ，
第十七页，共四十六页。
又
即 正交．
有
即
由
第十八页，共四十六页。
（定理7）对 总有正交矩阵T，使
２、
证：设A为 上对称变换 在标准正交基下的矩阵．
由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证
有n个特征向量作成的标准正交基即可．
第十九页，共四十六页。
n=1时，结论是显然的．
对 的维数n用归纳法．
有一单位特征向量 ，其相应的特征值为 ，即
假设n－1时结论成立，对 设其上的对称变换
设子空间
显然W是 子空间，
第二十页，共四十六页。
则 也是 子空间，且
又对 有
所以 是 上的对称变换．
由归纳假设知 有n－1 个特征向量
构成 的一组标准正交基．
第二十一页，共四十六页。
从而 就是 的一组标准正交基，
又都是 的特征向量．
即结论成立．
第二十二页，共四十六页。
3、实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤
设
(1) 求出A的所有不同的特征值：
其重数 必满足 ;
(2) 对每个 ，解齐次线性方程组
求出它的一个基础解系：
第二十三页，共四十六页。
它是A的属于特征值 的特征子空间 的一组基．
正交基
把它们按 正交化过程化成 的一组标准
(3) 因为 互不相同，
且
所以
第二十四页，共四十六页。
则T是正交矩阵，且
将
的分量依次作
矩阵T的第1，2，…，n列，
使 为对角形．
就是V的一组
标准正交基．
第二十五页，共四十六页。
例1 设
求一正交矩阵T使 成对角形．
解：先求A的特征值．
第二十六页，共四十六页。
A的特征值为 （三重）,
其次求属于 的特征向量，即求解方程组
第二十七页，共四十六页。
得其基础解系
把它正交化，得
第二十八页，共四十六页。
再单位化，得
第二十九页，共四十六页。
这是特征值 (三重)的三个单位正交特征向量，
也即是特征子空间 的一组标准正交基．
第三十页，共四十六页。
再求属于 的特征向量，即解方程组
第三十一页，共四十六页。
得其基础解
再单位化得
这样 构成 的一组标准正交基，它们
都是A的特征向量，正交矩阵
第三十二页，共四十六页。
第三十三页，共四十六页。
使得
第三十四页，共四十六页。
注意
成立的正交矩阵不是唯一的．
1. 对于实对称矩阵A，使
而且对于正交矩阵T,
还可进一步要求
第三十五页，共四十六页。
证：如果由上述方法求得的正交矩阵T
取正交矩阵
则 是正交矩阵且
第三十六页，共四十六页。
同时有
第三十七页，共四十六页。
2. 如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与
实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的．
3. 因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可
用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：
第三十八页，共四十六页。
设 为实对称矩阵A的所有特征值
(i) A为正定的
(ii) A为半正定的
(iii) A为负定（半负定）的
(iv) A为不定的
且
第三十九页，共四十六页。
4. 实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特
特征值的个数（重根按重数计）．
n－秩(A)是0为A的特征值的重数.
第四十页，共四十六页。
1、解析几何中主轴问题
将 上有心二次曲线或 上有心二次曲面通过坐标
的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.
四、实二次型的主轴问题
2、任意n元实二次型的正交线性替换化标准形
（1）正交线性替换
如果线性替换 X=CY
的矩阵C是正交矩阵，则称之为正交线性替换.
第四十一页，共四十六页。
（2）任一