文档介绍：第三节协方差与相关系数
对于二维随机变量（X，Y），数学期望E（X），E（Y）只反映了X和Y各自的平均值，而D（X），D（Y）反映的是X和Y各自偏离平均值的程度，，每对随机变量往往相互影响、相互第三节协方差与相关系数
对于二维随机变量（X，Y），数学期望E（X），E（Y）只反映了X和Y各自的平均值，而D（X），D（Y）反映的是X和Y各自偏离平均值的程度，，每对随机变量往往相互影响、，人的年龄与身高；，它们也是一类重要的数字特征，本节讨论有关这方面的数字特征.
（X，Y）为二维随机变量，称
E{［X-E（X）］［Y-E（Y）］}
为随机变量X，Y的协方差（Covariance），记为Cov（X，Y），即
Cov（X，Y）=E{［X-E（X）］［Y-E（Y）］}.（）
而称为随机变量X，Y的相关系数(Correlation coefficient)或标准协方差(Standard covariance)，记为ρXY，即
ρXY=.（）
特别地，
Cov(X,X)=E{[X-E(X)][X-E(X)]}=D(X)，
Cov(Y,Y)=E{[Y-E(Y)][Y-E(Y)]}=D(Y).
故方差D（X），D（Y）是协方差的特例.
由上述定义及方差的性质可得
D（X±Y）=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y).
由协方差的定义及数学期望的性质可得下列实用计算公式
Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）.（）
若（X，Y）为二维离散型随机变量，其联合分布律为P{X=xi，Y=yj}=pij，i，j=1，2，…，则有
Cov（X，Y）=.（）
若（X，Y）为二维连续型随机变量，其概率密度为f（x，y），则有
Cov（X，Y）=.（）
（X，Y）的分布律为
表4-12
X
Y
01
0
1
1-p0
0p
0＜p＜1,求Cov(X,Y)和ρXY.
解易知X的分布律为
P{X=1}=p,P{X=0}=1-p，
故E(X)=p,D(X)=p(1-p).
同理E(Y)=p,D(Y)=p(1-p),因此
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)·E（Y）=p-p2=p（1-p），
而ρXY=
（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求Cov（X，Y）.
解由于fX（x）=fY（y）=
E（X）=，
E（Y）=，
E（XY）=
因此Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=.
协方差具有下列性质：
1°若X与Y相互独立，则Cov（X，Y）=0；
2°Cov（X，Y）=Cov（Y，X）；
3°Cov（aX，bY）=abCov（X，Y）；
4°Cov（X1+X2，Y）=Cov（X1，Y）+Cov（X2，Y）.
证仅证性质4°，其余留给读者.
Cov(X1+X2，Y) =E［（X1+X2）Y］-E（X1+X2）E（Y）
=E(X1Y）+E（X2Y）-E（X1）E（Y）-E（X2）E（Y）
=［E(X1Y）-E(X1）E（Y）］+［E