文档介绍：****题七解答
.设X1,X〞…,为抽自二项分布B〔m,p〕的样本试求P的矩估计和极大似然估计.
解：〔1〕~BUn,p〕,因此总体的一阶原点矩为
乩=EX=np
按矩法估计有
因此P的矩估计力=上m
〔2〕求p的极=；max{X[,…,X〞}
所以6的极大似然估计为
-1
^=-max{X„-,XJ
假设X1,X2,…,X〞为来自正态总体N(〃9?)的样本,其中〃,求b?的极大似然估计.
解似然函数为
于是
94力为一
Z(怎-〃)2/=!
1
2(72
InL=--In2^--In(72-
22
1
2(j2
士区-4f=l
似然方程是
51nL
=0
解得,的极大似然估计量为
b=一工(％7)-
1--
设总体的概率密度函数为/1)=万"%XN°；(这是指数分布的另一
0,其它.
种形式).从该总体中抽出样本X1,X「X3,考虑8的如下四种估计
a=Xi
a=(x,+x2)/2
a=(X]+2X2)/3A,
a=x
(1)这四个估计中,哪些是6的无偏估计
(2试比拟这些估计的方差.
解：(1)由于k,X,,X3是从总体中抽出的样本,所以
eG\=EX1=0
人11
E02=E[(Xi+X2)/2]=-[EXl+EX2]=-[0+0]=O
22
人11
EOy=E[(X,+2X2)/3]=-[£%,+2EX2]=-[O+20]=O
八—11
EO,=EX=E[(X1+X2+X0/3]=-[EX[+EX.+EX^=-[0+0+0]=0因此自,a,a,a都是o的无偏估计.
(2)D0{=DX,=0~
D02=D[(Xi+X1)/2]=^[DXi+DX1]=^{01+0~]=^O~
人115
DO,=D[(X.+2XJ/3]=-[DX.+4OX"=-[0+40]=-0
i1z999
DO,=DX=D[(X,+X2+X3)/3]=1[DX1+DX1+DXJ=-{01+01^01]=-G1993
由上述各式知：DO,<DO.<DOy<
一个电子线路上电压表的读数X服从[8.+1]上的均匀分布,其中8是该线路上电压的真值,但它是未知的,假设X1,X2,…,X〞是此电压表上读数的一组样本,
(1)证实样本均值又不是6的无偏估计.
(2)求8的矩估计,证实它是8的无偏估计.
解：〔1〕由于X「X2,…,X〃是总体的一组样本,所以
1
EX=E[(Xl+X1+-+X3)/n]=-[EX]+EX1+-+EX3]
1「2.+126+12.+1]26+1
—++…+=
n2222
因此样本均值亍不是6的无偏估计o
〔2〕令5=
人—1
0=X——
2
由于
所以.=X-L是e的无偏估计o
2
设«和a都是e的无偏估计,且以〃-〔&〕=可,以“〔幻=.3构造一个
新无偏估计
0=c.+〔1-c〕£o<c<1
如果自与4相互独立,确定C使得弘〃〔.〕到达最小.
解：,所以
E0=£卜4+〔1-c〕.J=c6+〔1-c〕夕=0
“自〕=端,匕〃,〔&〕=▼；,&与女相互独立,所以
c2Var{0})
Var{d}=Vat^e