文档介绍：行列式矩阵
第一讲 行列式与矩阵
一、内容提要
〔一〕n阶行列式的定义
〔二〕行列式的性质
1．行列式与它的转置行列式相等，即；
2．交换行列式的两行〔列〕，行列式变号；
3．行列式中某行〔列〕元素的公因子可提到
行列式矩阵
第一讲 行列式与矩阵
一、内容提要
〔一〕n阶行列式的定义
〔二〕行列式的性质
1．行列式与它的转置行列式相等，即；
2．交换行列式的两行〔列〕，行列式变号；
3．行列式中某行〔列〕元素的公因子可提到行列式外面来；
4．行列式中有两行〔列〕元素相同，那么此行列式的值为零；
5．行列式中有两行〔列〕元素对应成比例，那么此行列式的值为零；
6．假设行列式中某行〔列〕的元素是两数之和，即
，
那么
7．将行列式某行〔列〕的k倍加到另一行〔列〕上去，行列式的值不变。
〔三〕行列式依行〔列〕展开
1．余子式与代数余子式
〔1〕余子式的定义
去掉n阶行列式D中元素所在的第i行和第j列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素的余子式，记为
〔2〕代数余子式的定义
的代数余子式的记为
2．n阶行列式D依行〔列〕展开
〔1〕按行展开公式
〔2〕按列展开公式
〔四〕范德蒙行列式
〔五〕矩阵的概念
1．矩阵的定义
由m×n个数组成的m行n列的矩形数表
称为m×n矩阵，记为
2．特殊的矩阵
〔1〕方阵：行数与列数相等的矩阵；
〔2〕上〔下〕三角阵：主对角线以下〔上〕的元素全为零的方阵称为上〔下〕三角阵；
〔3〕对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；
〔4〕数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；
〔5〕单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E；
〔6〕零矩阵：元素全为零的矩阵。
3．矩阵的相等
设
假设 ，那么称A与B相等，记为A=B。
〔六〕矩阵的运算
1．加法
〔1〕定义：设，那么
〔2〕运算规律
① A+B=B+A； ②〔A+B〕+C=A+〔B+C〕
③ A+O=A ④ A+〔-A〕=0， –A是A的负矩阵
2．数与矩阵的乘法
〔1〕定义：设k为常数，那么
〔2〕运算规律 ① K (A+B) =KA+KB, ② (K+L)A=KA+LA, ③ (KL) A= K (LA)
3．矩阵的乘法
〔1〕定义：设那么
其中
〔2〕运算规律
①；②
③
〔3〕方阵的幂
①定义：A，那么
②运算规律：；
〔4〕矩阵乘法运算与数的运算不同之处。
① ②
③
4．矩阵的转置
〔1〕定义：设矩阵A=，将A的行与列
i〕； ii〕；
iii〕； iv〕假设A可逆，那么也可逆，且
③用伴随矩阵求逆矩阵公式：
〔七〕方阵的行列式
1．定义：由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式〔各元素的位置不变〕叫做方阵A的行列式，记为或detA。
2．性质：
〔1〕， 〔2〕，
〔3〕， 〔4〕
〔八〕特殊矩阵的行列式及逆矩阵
1．单位阵E：；
2．数量矩阵kE：当
3．对角阵：
假设，那么
4．上〔下〕三角阵
设
假设，那么仍为上〔下〕三角阵
〔九〕矩阵的初等变换与初等矩阵
1．矩阵的初等变换
〔1〕定义：以下三种变换
①交换两行〔列〕；
②某行〔列〕乘一个不为零的常数k；
③某行〔列〕的k倍加到另一行〔列〕上去，称为矩阵的初等变换。
2．初等矩阵
〔1〕定义：将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等阵；
交换i,j两行〔列〕，记为E(i, j)；
第i行〔列〕乘不为零的常数k记为为E(i(k));
第j行的k倍加到第i行上去，记为E(j(k)i;
〔2〕初等阵性质
初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；
而
〔3〕方阵A可逆与初等阵的关系
假设方阵A可逆，那么存在有限个初等阵，使，
〔4〕初等阵的行列式
〔5〕初等阵的作用：
对矩阵A进行一次初等行〔列〕变换，相当于用相应的初等阵左〔右〕乘矩阵A，且
3．矩阵的等价
〔1〕定义：假设矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B，那么称A与B等价，
〔2〕A与B等价的三种等价说法，
①A经过一系列初等变换变到B；
②存在一些初等阵，使得
③存在可逆阵P，Q，使得PAQ=B
〔十〕分块矩阵
1．分块矩阵的定义
以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
2．分块矩阵的运算
〔1〕设A，B为同型矩阵，采用相同的分法有
那么
〔2〕
〔3〕设分块成
其中的列数分别等于的行数，那么，其中
3．准对角阵
〔1〕定义：形如