文档介绍：平面法向量在立体几何中的初步应用
潘继军
《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）·数学》第二册（下 B）中仅给出
了平面法向量的定义， 法向量的应用在教材中没有做进一步拓展。 笔者认为， 法向量是值棱锥 D － ABE 的体积比等于 3π，求直线 DE 与平面 ABCD所成的角。
建立空间直角坐标系－
（图 3），则
（
，
，0），
（ 0，0，2
r
），
（ 0，
，
A xyz
E r
r
D
Hr
0）。
图 3
三、以平面法向量为载体，求二面角
图 4
图 5
∴ ＝（ 2 ，－ ， ）， ＝（ ，0，0）。令 ＝ 1， ＝1，则 ＝（ 2，－1， 1）， ＝（ 1， 0， 0）。
例 4（ 2002 年理科高考试题）如图 6，正方形 ABCD、 ABEF 的边长都是 1，而且平面ABCD、ABEF 互相垂直， 点 M 在 AC 上移动， 点 N 在 BF 上移动， 且 CM ＝ BN ＝ a（ 0＜ a ＜
2）。
图 6
令
令
∴ ·
∴ ＝（ ， ， ）。
＝ 1，则 ＝（ 1， 1， 1）。同理
＝- ，－ ，－ ）。
＝ 1，则 ＝（ 1，－ 1，－ 1）。
＝ 1－ 1－ 1＝－ 1，｜ ｜·｜ ｜＝ 3。
四、以法向量为载体，判断两个平面互相垂直（转化为求两个平面法向量的数量积等
于 0）
例 5（ 1997 年全国高考试题） 如图
7，在正方体
ABCD－
中，E、F 分别是
、
CD 的中点，证明面