文档介绍：*
立体几何中的角度问题
立体几何中的角度问题
立体几何中的角度问题
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空间的角的概念及其计算，是立体几何的基本内容，也是其重点和难点。
求空间角的一般步骤是：
空间中的角有：
异面直线所成角,线面角,二面角。
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立体几何中的角度问题
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空间的角的概念及其计算，是立体几何的基本内容，也是其重点和难点。
求空间角的一般步骤是：
空间中的角有：
异面直线所成角,线面角,二面角。
(1)找出或作出有关的图形；
(2)证明它符合定义；
(3)计算。
[即：要求先证，要证先作。]
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b
α
空间角
一、异面直线所成的角：
a
a
O
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1. 两条异面直线所成的角：
①平移其中一条直线或者两条直线，找出两异面直线所成的角，然后解三角形；如果求出的是钝角，则取其补角；
②先求两条异面直线的方向向量所成的角，但如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角.
[方法论坛]
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2. 直线和平面所成的角：
①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来.
②向量法，先求直线的方向向量与平面的法向量所成的角 ，令所要求的角为Ө，则
Sin Ө=|Cos|
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3. 平面与平面所成的角:
①“一找二证三求”. 一找：找出这个二面角的平面角；二证：证明所找角即为二面角的平面角；三求：解三角形求角.
② 向量法: 先求两个平面的法向量所成的角为 ，那么这两个平面所成的二面角的平面角为或π .
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小结：
1、正确掌握空间各种角的定义及取值范围：
（1）异面直线所成角的范围：0º90
（2）直线与平面所成的角的范围： 0º90
（3）二面角的平面角的范围通常认为：0º180
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注意：(1) 在求角时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，则用向量方法比较好；否则，用非向量方法比较简便.
(2) 用非向量方法求角时，要做到“一找二证三求”，在解题过程中一定要出现形如“∠ 就是所要求的角”的句子.
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【例3】如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=AD,找出二面角A-PB-C的平面角
A
B
C
D
P
E
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（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。
（2）补形法：
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。
(3) 坐标法
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2、直线和平面所成的角
直线与平面平行或在平面内，
直线和平面所成的角的是0º；
斜线和平面所成的角是：斜线及斜线在平面上的射影所成的角。
直线与平面垂直，直线和平面
所成的角是90º；
通常是从斜线上找特殊点，作平面的垂线段，构作含所求线面角的三角形求之。
求斜线与平面所成的角，关键是找准斜线段在平面内的射影；
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,在三棱锥P-ABC中，AB=BC=CA，PA⊥底面
ABC，D为AB的中点． (1)求证：CD⊥PB；
(2)设PA=AB,求二面角A-PB-C的正切值.
B
A
P
D
C
O
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从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。
3、二面角
二面角的大小用它的平面角来度量；
（1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角；
A
B
求二面角常用方法有：
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（3）垂面法： 作二面角棱的垂面，则垂面和二面角的两个面的交线所成的角即是该二面角的平面角。
（2）用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角；
如图，由三垂线定理(或逆定理),过二面角-a-的一个面上一点P向另一个面作垂线PA，再由垂足A(或点P)向棱作垂线AB(或PB)，连PB(或AB)，则PBA就是二面角-a-的平