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文档介绍：初等数论(二) Number Theory(Chap2)
信阳职业技术学院夏子厚
第二章不定方程
教学目的和要求
(1)正确理解不定方程的基本概念。
(2)熟练掌握二元一次不定方程的解法和勾股不定方程解的结构,掌握二元一次不定方程与多元一次不定方程解的关系,会解三元一次不定方程和简单的高次不定方程,会应用不定方程解某些实际问题。
本章重点是二元一次不定方程和勾股不定方程。
第一节二元一次不定方程
二元一次不定方程的形式:
ax  by = c a,b,c∈Z,且ab≠0 (1)
不定方程的基本问题是
(1) 方程有没有解?
(2)若有解,怎样求出它的解?
定理1 方程(1)有解的充要条件是(a,b)c
第一节二元一次不定方程
证明:必要性:若(1)式有一整数解(x0, y0),则 a x0 b y0= c
因(a,b) a,(a,b) b,从而(a,b)c
充分性:若(a,b)c,则c=c1(a,b),c1∈Z。由裴蜀恒等式知,存在s,t Z,使得 as+bt=(a,b)。
令x0 =s c1, y0 =t c1 ,即得 a x0 b y0= c 。故(1)式有整数解(x0, y0)。
第一节二元一次不定方程
定理2 设a,b,c是整数,若方程ax  by = c有解(x0, y0),则它的一切解具有
, tZ (2)
的形式,其中。
第一节二元一次不定方程
证明容易验证,由式(2)确定的x与y满足方程(1)。下面证明,方程(1)的解都可写成式(2)中的形式。
设(x, y)是方程(1)的解,则ax0  by0 = ax  by = c,得到a(x  x0) = b(y  y0),即:
第一节二元一次不定方程
由此,以及和第一章第三节定理4,得到
x  x0,因此存在整数t,使得

故 tZ
第一节二元一次不定方程
注:定理1和定理2说明了解方程(1)的步骤:
(1) 判断方程是否有解,即(a, b)c是否成立;
(2) 若方程(1)有解,即(a, b)c成立。则把
方程(1)改写为

显然上式与方程(1)同解。
若可用观察法得到上式的特解x0,y0,则可进行下一步;若不易用观察法得到,可利用辗转相除法先求出a1x  b1y =1的特解x0,、y0,,再求a1x  b1y = c1的特解x0,y0 。
第一节二元一次不定方程
(3) 写出方程(1)的解
例1:求7x+4y=100的一切整数解
解:因(7,4)=1,从而原方程有解。其特解为x0 =0,y0 =25。
故其一切整数解为x=4t,y=25-7t tZ。
第一节二元一次不定方程
例2:求111x-321y=75的一切整数解
解:因(111,321)=3,3︱75,从而原方程有解。且其解与37x-107y=25的解相同。
先利用辗转相除法求37x-107y=1的特解(x0,、y0,)。
由107=37×2+33
37=33×1+4
33=4×8+1