文档介绍：函数对称性、周期性和奇偶性规律
同•函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、 周期性：对于函数丁 = /(X),如果存在…个不为零的常数T,使得当X取定义域内的每-个值时，都有 /(X + T) = f(x)都成立，那么就把函数J + T) = -/(X)则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为
T
x = —+ 2kT (k e z),根据/(x) = /(x+ 2T)可以找出其对称中心为(kT,O) (k e z)(以
上JO)
如果偶函数满足/(X + T) = -/(%)则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为
(—+ 2kT,G) (k e z),根据 /(X)= /(x + 27)可以推出对称轴为 x = T + 2kT (k e z)(以
上JO)
如果奇函数y = f(x)满足/(r+x)= /(r-x)(T壬o),则函数y = 是以牡为周 期的周期性函数。如果偶函数＞ =/*(%)满足/(r+x)= /(r-x)(t^o),则函数y = fM 是以2T为周期的周期性函数。
定理3：若函数/(x)在R上满足f(a+ x)= /(«- x),且f(b+ x) = f(b - x)(其中a女b),则函数 y = /*(x)以 2(。一。)为周期.
定理4：若函数(X)在R上满足f(a + x) = -f(a - x),且f(b + x) = -f(b 一 x)(其中mb),则函 数)=汽了)以2(。一。)为周期
定理5：若函数/(x)在R上满足f(a+x) = f(a- x),且f(b+ x) = -f(b- x)(其中a女b),则函数 y = /(x)y. 4(0-b)为周期.
二、两个函数的图象对称性
1、 y = /(x)与y = -f(x)关于X轴对称。换种说法：y = /(%)与y = g(x)若满足/(x) = -g(x), 即它们关于y=0对称。
2、 ＞ = f⑴与＞ =/*(—、)关于Y轴对称。换种说法：y = /(%)与y = g(x)若满足/(x) = g(-x), 即它们关于x=0对称。
3、 y = f(')与工)关于直线x = a对称。换种说法：y = f(x )与y = g(x)若满足 /*(') = g(2" — x),即它们关于x = a对称。
4、 y = /(x)与y = la - /(x)关于直线y = a对称。换种说法：y = /(x)与y = g(x)若满足 /(x) + g(x) = 2a，即它们关于y = a对称。
5、 y = f(x)与y = 2b- fQa- x)关于点(a,b)对称。换种说法：y = /(x )与y = g(x)若满足 /(x) + g(2a-x) = 2b ,即它们关于点(a, b)对称。
7、函数的轴对称：定理1：如果函数)=/*(*)满足f(a + x) = f(b- x),则函数)=/*(*)的图象关 于直线X =竺旦对称.
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推论1：如果函数)=/"(X)满足f{a + x) = f(a - x)-则函数)=y(x)的图象关于直线x = a对称。 推论2：如果函数7= y(x)满足/(x)= /(- X),则函数7= y(x)的图象关于直线X = 0 (y轴)对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.