文档介绍：实验报告-数据滤波和数据压缩实验
实验题目：使用Haar小波和傅里叶变换方法滤波及数据压缩
1 实验目的
（1）掌握离散数据的Haar小波变换为一正整数。
带入式中，得到
令，
则有
，
上述推导说明：对一个长度为N的序列进行傅里叶变换可以通过将其划分为2个N/2的序列进行傅里叶变换，对于N/2的傅里叶变换，可划分为两个N/4的变换，这一过程不断迭代，知道两点的序列为止，可计算出该序列的傅里叶变换。
（4）时间抽取的基2FFT蝶形算法
对于（3）中的计算方法，可以采用蝶形运算符号来表示。本实验中采用的算法是时间抽取的基2FFT算法实现快速傅里叶变换。
数据压缩的评价准则
（1）数据压缩比
设原始信号f(n)的数据量大小为S，经过数据压缩后，信号的数据量变为M
，一般情况下M<S。则数据压缩比率的定义为：
由上式可知，数据压缩得越小，其数据压缩比越大。
（2）数据失真度
对于压缩后的数据，可以采用反变换等方式还原信号。设原信号为f(n)，还原信号为f1(n)，则我们定义还原信号与原始信号的差异为数据失真度。显然，数据恢复越接近原始信号，数据失真度越小。
算法步骤
（1）Haar小波方法步骤
读入原始数据f(n)
对原始数据f(n) 进行小波变换。对原始数据进行不同层级（分辨率）下的小波变换，得到不同的小波变换结果[An , Dn]
对于上步中的小波变换结果，把细节分量Dn置为0，即滤波得到压缩数据 [An]
对于滤波结果 [An]，通过小波逆变换，恢复数据
计算恢复数据与原始数据的差异，进行压缩评价
（2）离散傅里叶变换步骤
读入原始数据f(n)
对原始数据f(n)进行离散傅里叶变换。使用蝶形算法计算傅里叶变换结果F(u)
对F(u)进行滤波，保留低频成分，舍弃高频成分，即得到原始数据的近似表示
对滤波结果的低频数据，高频分量恢复为零值，使用傅里叶反变换，恢复数据
计算恢复数据和原始数据的差异，进行压缩评价
程序流程图
开始
读取原始数据
小波变换DWT
变换结果滤波
数据写入文件
结束
图1 Haar小波变换流程图
在图1中，，由程序运行时读入。对结果的滤波是舍弃小波分解的细节部分。。
开始
读取原始数据数据f(n),变换后A(n)
对A(n)小波逆变换IDWT，得f1(n)
计算f(n)和f1(n)差异
结束
图2 Haar小波压缩数据差异计算流程图
图2是计算使用Haar小波进行数据压缩后，与原始数据差异。图中的f(n)表示原始数据，A(n)是小波变化结果，f1(n)表示逆变换结果。
开始
读取原始数据f(n)
傅里叶变换FFT,得到F(u)
变换结果F(u)滤波
F(u)数据写入文件
结束
图3 离散傅里叶变换流程图
图3是傅里叶变换流程图。。对F(u)滤波时，舍弃高频信息。。
开始
读取原始数据数据f(n),变换后F1(u)
对F1(u)傅里叶逆变换IFFT，得到f1(n)
计算f(n)和f1(n)的差异
结束
图4 离散傅里叶变换压缩数据差异计算流程图
图4是傅里叶变化压缩数据后的差异计算。傅里叶逆变换时，对于高频分量补零，与低频分量来恢复数据
f1(n)。
3 实验结果分析
（1）傅里叶变换
图5 测试数据集的FFT变换及IFFT变换结果
在上图中，得到测试数据集的傅里叶变换结果。图中带括号的是数据变换的复数结果，后边的小数是变换后的幅值。可以看出，在傅里叶变换的结果中，有1/2的数据经过变换之后变为0值。这部分为0值的数据可以采用压缩方式存储，从而压缩原始数据。并且，经过傅里叶反变换后，原始数据可以得到良好的恢复。
图6
，由于数据量较大，此处只是部分数据截图
。数据不足的部分用零补齐。可以看出，变换后的数据幅值较大，且基本没有为0数据。此时，采用阈值进行滤波处理，取阈值，即将阈值小于30的值置为0。
（2）小波变换
图7 测试数据集的小波变换DWT
由上图的实验结果可以看出，数据经过小波变换后，其能量集中于数据的靠前的小波系数。对于相同的数据集，可以采用不同级别的小波变换数据。
图8
由上图，对于