文档介绍：第八章层次分析法
层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称AHP)是对一些较为复杂、较为模 糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美 国运筹学家T. L. Saaty教授于7用实验方法比较了在各种不同标度下人们判 断结果的正确性，实验结果也表明，采用1~9 标度最为合适。
n( n 一 1)
最后’应该指出’一般地作f
次两两判断是必要的。有人认为把所有元素
都和某个元素比较，即只作n-1个比较就可以了。这种作法的弊病在于，任何一个判 断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以 n(n 一 1)
避免的。进行 次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较， 从而导出一个合理的排序。
层次单排序及一致性检验
判断矩阵A对应于最大特征值九 的特征向量W，经归一化后即为同一层次相
max
应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。 上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其它因素的干扰，较客观地反映出一 对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。 如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足：
a a = a , Vi, j,k = 1,2,…，n (1)
ij jk ik
定义2满足关系式(1)的正互反矩阵称为一致矩阵。
需要检验构造出来的(正互反)判断矩阵A是否严重地非一致，以便确定是否接 受 A o
定理1正互反矩阵A的最大特征根九 必为正实数，其对应特征向量的所有分
max
量均为正实数。A的其余特征值的模均严格小于九。
m ax
定理2若A为一致矩阵，则
A 必为正互反矩阵。
A的转置矩阵AT也是一致矩阵。
A的任意两行成比例，比例因子大于零，从而rank(A) = 1 (同样，A的 任意两列也成比例)。
(iv) A的最大特征值九 =n，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。
max
m ax 1
n ij w
j
(v)若A的最大特征值九 对应的特征向量为W = (w，…,w )t，则a = j，
Vi, j = 1,2,…,n，即
w w w
—1 —1 …一1
w w w
1 2 n
w w w
c — w w w
1 2 n
・・・ ・・・ ・・・ ・・・
w w w
n n .… —n
w w w
1 2 n
定理3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根九 二n，且当正
max
互反矩阵A非一致时，必有九 >n。
max
根据定理3,我们可以由九 是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。由
max
于特征根连续地依赖于a，故九 比n大得越多，A的非一致性程度也就越严重，
ij m ax
九 对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X ={x，…,x }在对因素Z
m ax 1 n
的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以 决定是否能接受它。
对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：
G）计算一致性指标CI
九 —n
CI = max
n —1
（ii）查找相应的平均随机一致性指标RI。对n = 1,・・・,9，Saaty给出了 RI的值,
如下表所示:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
RI
0
0
RI 的值是这样得到的，用随机方法构造500 个样本矩阵：随机地从1~9 及其倒
数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值九'，并定义
max
九'—n
RI =——max ——。
n —1
（iii）计算一致性比例CR
CR =
CI
当CR < ，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修 正。
层次总排序及一致性检验 上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。我们最终要得到各 元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。总排序权重 要自上而下地将单准则下的权重进行合成。
设上一层次（A层）包含A，…,A共m个因素，它们的层次总排序权重分别为 1m
a，…,a。又设其后的下一层次（B层）包含n个因素B，…,B，它们关于A的层
1 m 1 n j
次单排序权重分别为b，…,b （当B与A无关联时，b二0 ）现求B层中各因素
1 j nj i j ij
关于总目标的权重，即求B层各因素的层次总排序权重b，…,b，计算按下表所示方