文档介绍：三角形五心
三角形五心
三角形五心
重心
三角形的重心
重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。
燕尾？ ^_^ ）证明过程又是塞瓦定理的特例。
重心的几条性质：
分别为 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3) ，其对边长分别为
则
a,b,c，
三角形五心
三角形五心
三角形五心
心里坐标 I((ax_1+bx_2+cx_3)/(a+b+c),(ay_1+by_2+cy_3)/(a+b+c))
旁心
旁心是一个三角形内角均分线与其不相邻的两个外角均分线的交点，它到三边的距离相等。如图，点 M 就是△ ABC 的一个旁心。三角形随意两角的外角均分线和第三个角的内角均分线的交点。一个三角形有三个旁心，并且必定在三角形外。燕尾定理
燕尾定理，就是一个对于如图三角形的定理。
三角形 ABC 中，三角形 AOB/ 三角形 AOC=BF/FC ；同理，三角形 AOC/ 三角形 COB=AD/DB ；
三角形 BOC/ 三角形 BOA=EC/AE 。
证明过程以下：
三角形 ABF/ 三角形 ACF=BF/FC= 三角形 BOF/ 三角形 COF，依据比率性质， BF/FC= （三角
形 ABF- 三角形 BOF ） /（三角形 ACF- 三角形 COF）。塞瓦定理
设 O 是△ ABC 内随意一点，
AO 、 BO 、 CO 分别交对边于 D、 E、 F，则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 证法简介
（Ⅰ）此题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ ADC 被直线 BOE 所截，
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
而由△ ABD 被直线 COF 所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1 ②
①÷② :即得： BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
（Ⅱ）也能够利用面积关系证明
BD/DC=S △ ABD/S △ ACD=S △ BOD/S △ COD=(S △ ABD-S △ BOD)/(S △ ACD-S △ COD)=S
AOB/S △AOC ③
同理 CE/EA=S △ BOC/ S△ AOB ④ AF/FB=S △ AOC/S △ BOC ⑤
③×④×⑤得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点 :
设三边 AB 、BC 、AC 的垂足分别为 D 、 E、 F，
根 据 塞 瓦 定 理 逆 定 理 ， 因 为
(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/
三角形五心
三角形五心
三角形五心
[(AE*ctgB)]=1
，因此三条高
CD、 AE 、 BF
交于一点
三角形五心
三角形五心
三角形五心
燕尾定理